Студопедия

Главная страница Случайная страница

КАТЕГОРИИ:

АвтомобилиАстрономияБиологияГеографияДом и садДругие языкиДругоеИнформатикаИсторияКультураЛитератураЛогикаМатематикаМедицинаМеталлургияМеханикаОбразованиеОхрана трудаПедагогикаПолитикаПравоПсихологияРелигияРиторикаСоциологияСпортСтроительствоТехнологияТуризмФизикаФилософияФинансыХимияЧерчениеЭкологияЭкономикаЭлектроника






Условная вероятность. Независимость






Определение 8.1. Условной вероятностью события В при условии А называется вероятность события В в предположении, что событие А наступило.

Обозначение: Р(В|A) = P A (B). Находится по формуле: Р(В|A)= (1).

Теорема 8.2. ( умножение вероятностей )

Р(АВ)=Р(А)∙ Р(B|A)=P(B)∙ P(A|B).

следует из формулы (1)

Теорема 8.3. ( обобщённая теорема умножения вероятностей )

Р(А1 А2 …Аn)= Р(А1) Р(А2 | А1) Р(А3 | А1 А2) … Р(Аn | А1 А2 …Аn-1).

Р(А1 А2 … Аn-1 Аn) = Р(А1 А2 … Аn-1) Р(Аn | А1 А2 …Аn-1) =

=Р(А1 А2 … Аn-2)Р(Аn-11 А2 …Аn-2)Р(Аn1 А2 …Аn-1) = … =

= Р(А1) Р(А2 | А1) Р(А3 | А1 А2) … Р(Аn | А1 А2 …Аn-1).

 

Пример 8.4. Студент знает 20 вопросов из 25. Преподаватель задаёт 3 вопроса. Найти вероятность того, что студент знает все 3 вопроса.

Обозначим через А – студент знает все 3 вопроса, А1 знает первый вопрос, А2 – знает второй вопрос, А3 – знает третий вопрос.

А = А1 А2 А3, Р(А)=Р(А1 А2 А3)= Р(А1)Р(А2| А1) Р(А3| А1 А2)= <

Определение 8.5. События А и В называются независимыми, если Р(АВ)=Р(А)∙ Р(B).

Свойство 8.6. События А и В независимы тогда и только тогда, когда Р(В|A)=P(B).

Пусть события А и В независимы, т.е. Р(АВ)=Р(А)∙ Р(B), тогда Р(В|A)= = = Р(В).

Если Р(В|A)=P(B), то Р(В|A)= = Р(В), откуда Р(АВ)=Р(А)∙ Р(B).

Определение 8.7. (независимости в совокупности) События А1, А2, …, Аn называются независимыми (или независимыми в совокупности), если:

1) Р(Аi Аj)= Р(Аi)Р(Аj), i j, i, j {1, 2, …, n } – попарно независимы,

2) Р(Аi Аj Аk)= Р(Аi)Р(Аj) Р(Аk), i j, j k, i, j, k {1, 2, …, n } – независимы по три,

и т.д. ……

n -1) Р(А1 А2 … Аn)= Р(А1)Р(А2) … Р(Аn).

 

Замечание 8.8. Из попарной независимости не вытекает независимость в совокупности.


Поделиться с друзьями:

mylektsii.su - Мои Лекции - 2015-2024 год. (0.007 сек.)Все материалы представленные на сайте исключительно с целью ознакомления читателями и не преследуют коммерческих целей или нарушение авторских прав Пожаловаться на материал