Главная страница Случайная страница КАТЕГОРИИ: АвтомобилиАстрономияБиологияГеографияДом и садДругие языкиДругоеИнформатикаИсторияКультураЛитератураЛогикаМатематикаМедицинаМеталлургияМеханикаОбразованиеОхрана трудаПедагогикаПолитикаПравоПсихологияРелигияРиторикаСоциологияСпортСтроительствоТехнологияТуризмФизикаФилософияФинансыХимияЧерчениеЭкологияЭкономикаЭлектроника |
Алгоритм знаходження жорданова базису (випадок єдиного власного числа).
Нехай A - лінійний оператор на векторному просторі V над полем F, dim V = n, у даному базисі простору оператору A відповідає матриця Ставиться задача знайти жорданів базис оператора A та жорданову матрицю J оператора в цьому базисі. Для визначеності вважаємо, що всі вектори задаються координатами в початковому базисі . 1 крок. Складається характеристичний многочлен оператора і знаходяться всі корені цього многочлена. Припускаємо, що многочлен має лише єдиний корінь , причому , тобто . Це означає, що параметром усіх жорданових клітинок заключної жорданової матриці J є число . 2 крок. Розгляд переноситься на лінійний операторB =A - l 0E, де E – одиничний оператор. ОператорB нільпотентний, у початковому базисі оператору B відповідає матриця B = A - E. Жорданів базис оператора B є жордановим базисом для A та навпаки. Отже, далі знаходиться жорданів базис оператора B =A - l 0E.
3 крок. Знаходиться показник нільпотентності k оператора B. Для цього береться послідовність матриць така, що k – мінімальний ступінь, для якого -нульова матриця. Показник нільпотентності k означає, що у заключній жордановій матриці J максимальний порядок жорданової клітинки дорівнює k.
4 крок. Розглядається послідовність підпросторів M 0, M 1, …, , таких, що Mi = Ker B i Оскільки вважається, щоB 0 =E, то M 0 = . З того, що k – показник нільпотентності оператора B випливає, що B k =O, B k - 1 O, …, B 1 O, B 0 O, а тому і при цьому виконуються включення = M 0Ì M 1Ì Ì Будемо називати висотою вектора мінімальне натуральне число h таке, що B h Оскільки B k =O , то . Складаються початкові базиси підпросторів за наступними правилами. Оскільки M 0 = , в підпросторі M 0 базису немає. Будується довільний базис Б 1 підпростору M 1= Ker B. Для цього береться деяка фундаментальна система розв’язків системи лінійних однорідних рівнянь порядку n з основною матрицею системи B. Зрозуміло, що висота кожного вектора в базисі Б 1 дорівнює 1. Далі система векторів Б 1 доповнюється до базису Б 2 підпростору M 2. Для цього, наприклад, можна знайти довільний базис M 2, як фундаментальну систему розв’язків системи лінійних однорідних рівнянь з основною матрицею та з цього базису взяти відповідну кількість векторів з урахуванням умови лінійної незалежності. Зрозуміло, що усі доповнюючі вектори висоти 2. Далі система Б 2 аналогічним чином доповнюється до початкового базису Б 3 підпростору M 3. Продовжуючи цей процес, одержується послідовність початкових базисів Б 1, Б 2, …, , підпросторів M 1, …, , відповідно і при цьому Б 1 Б 2 … . Базис підпростору є базисом простору V. Він складається з системи та доповнюючих векторів. Висота кожного вектора, що доповнює базис до , дорівнює k. Висота кожного вектора з базису не більше k -1. 5 крок. Будується жорданів базис. Для цього складається послідовність ланцюжків (серій) векторів за наступними правилами. На першому кроці для кожного вектора c висоти k з базису складається серія з k векторів c, B (c), B 2 (c), …, B k - 1(c)з початковим вектором c. Оскільки висота вектора c дорівнює k, то серія складається з ненульових векторів. При цьому зрозуміло, що під дією оператора B кожен вектор переводиться у вектор з висотою, меншою на одиницю. Отже, векторам серії c, B (c), B 2 (c), …, B k - 1(c)відповідають висоти k, k- 1, k -2, …, 1. При цьому , B (c) , B 2 (c) , …, B k - 1(c) Система векторів, яка складається з усіх побудованих серій, лінійно незалежна. Далі, якщо потрібно, на другому кроці нові серії будуються за наступними правилами. Береться початковий базис підпростору , з кожної побудованої серії береться вектор висоти k- 1. Одержується лінійно незалежна система у підпросторі і далі ця система доповнюється до базису . Доповнюючі вектори можна взяти, наприклад, з початкового базису підпростору . Висота кожного доповнюючого вектора d дорівнює k -1, і далі для кожного такого вектора складається ланцюжок(серія) з k -1 векторів d, B (d), B 2 (d), …, B k - 2(d). Вектори усіх серій, побудованих на першому та другому кроках, лінійно незалежні. Припускаємо, що зроблено j (1£ j < k) кроків будування серій. На j +1 кроці береться початковий базис підпростору , з кожної серії береться вектор висоти k - j, одержується лінійно незалежна система в підпросторі , ця система доповнюється до базису векторами, наприклад, з початкового базису підпростору і для кожного з додатково взятих векторів z складається серія з k - j векторів z, B (z), B 2 (z), …, B k –j– 1(z). Вектори всіх побудованих серій на всіх кроках лінійно незалежні. Процес будування серій завершується, коли вектори всіх побудованих серій разом утворюють базис простору. Це виконується, коли число векторів у всіх побудованих на даний крок серіях співпадає з розмірністю простору.
6 крок. Жорданів базис складається з усіх побудованих серій. Вектори впорядковуються наступним чином. У кожній серії вектори розташовуються у зворотньому порядку (у кожній серії початковий вектор береться останнім). Кожна серія у базисі розташовується єдиним блоком. 7 крок. Жорданова нормальна форма матриці А визначається наступним чином. Оскільки характеристичний многочлен має єдиний корінь , то кожна жорданова клітинка у матриці є клітинкою з параметром . Кожній серії векторів у базисі відповідає одна клітинка. Порядок клітинки строго дорівнює довжині серії. Порядок розташування клітинок строго відповідає порядку розміщення серій в базисі. Задача 1. Лінійний оператор A у початковому базисі простору V задається матрицею А. Знайти базис , в якому оператор задається жордановою матрицею J, та знайти матрицю J Розв’язування. На першому кроці шукаються власні числа матриці А. Для цього складається характеристичний многочлен оператора
=
=
Отже, характеристичний многочлен має лише єдиний корінь t =3. Беремо , далі складемо матрицю , яка відповідає оператору
Визначаємо показник нільпотентності k матриці B:
Таким чином, k =2. Це означає, що максимальний порядок жорданової клітинки в жордановій нормальній формі дорівнює 2, причому параметром всіх клітинок є власне число . Далі знаходимо початкові базиси підпросторів Базис Знаходимо фундаментальну систему розв’язків системи лінійних однорідних рівнянь з основною матрицею системи В.
Отже, початковим базисом підпростору є пара векторів .
Базис Оскільки k =2, то підпростір співпадає з усім простором V. За алгоритмом, початковий базис підпростору доповнюється до базису простору V. Оскільки dim = 2, а dim = 3, то доповнення складається лише з одного вектора. Достатньо взяти такий вектор, що є лінійно незалежним з Таким вектором може бути, наприклад, . Отже, початковим базисом підпростору є трійка векторів . У цьому базисі вектори висоти 1, вектор висоти 2. Починаємо будувати жорданів базис. У початковому базисі підпростору вектори утворюють базис , вектор є доповнюючим до базису Для доповнюючого вектора будуємо першу серію. Оскільки висота вектора дорівнює 2, то серія складається з двох векторів. Першим вектором береться . Другим вектором береться вектор B
B
Отже, першу серію утворюють вектори , B = В цій серії вектор висоти 2, вектор B висоти 1, B Число векторів в серії менше розмірності простору, отже, серія не утворює базис простору, тому процес будування серій продовжується. За методом будуємо новий базис підпростору Оскільки підпростір базису не має, новий базис складається лише з векторів висоти 1 в кожній побудованій серії та доповнюючих векторів. Отже, з єдиної побудованої серії до нового базису береться вектор B = Оскільки dim = 2, цей вектор доповнюється до базису підпростору ще одним вектором, який можна вибрати, наприклад, з початкового базису , виходячи з умови лінійної незалежності з вектором B . Наприклад, доповнюючим вектором беремо Отже, новий базис утворюють вектори B = У цьому базисі доповнюючим вектором є За цим вектором будуємо другу серію. Вектор висоти 1, а тому друга серія складається лише з одного вектора
Число векторів у двох побудованих серіях дорівнює 3=dim V. Тому серії разом утворюють базис простору. За методом, у кожній серії вектори представляємо у зворотньому порядку і одержуємо жорданів базис
Для побудови жорданової матриці у цьому базисі враховуємо, що єдиним власним числом є а тому всі жорданові клітинки з параметром Кожній серії відповідає одна клітинка, порядок якої дорівнює довжині серії. Отже, вектори утворюють серію довжини 2, якій відповідає жорданова клітинка порядку 2. Вектор
Задача 2. Лінійний оператор A у деякому базисі задається матрицею . Знайти базис , в якому оператор задається жордановою матрицею та знайти матрицю Розв’язування. Шукаємо власні числа оператора. Для цього розглядаємо характеристичний многочлен. Характеристичний многочлен має лише єдиний корінь . Отже, беремо далі складаємо матрицю , яка відповідає оператору
Визначаємо показник нільпотентності k матриці
Отже, . Таким чином, в заключній жордановій матриці всі жорданові клітинки з параметром а максимальний порядок жорданової клітинки дорівнює 3. Знаходимо початкові базиси підпросторів Базис . Знаходимо фундаментальну систему розв’язків однорідної системи лінійних рівнянь з основною матрицею системи .
Отже, початковий базис підпростору утворюють вектори . Базис . За алгоритмом, початковий базис підпростору доповнюється до базису . Для цього складається деякий базис підпростору та з цього базису беруться доповнюючі вектори. Базисом можна взяти фундаментальну систему розв’язків однорідної системи лінійних рівнянь з основною матрицею системи .
За алгоритмом, початковий базис підпростору доповнюється до початкового базису . Зрозуміло, що тобто береться лише один доповнюючий вектор. Цей вектор можна взяти з побудованого базису підпростору , виходячи з умови лінійної незалежності з векторами . Таким вектором можна взяти Отже, початковий базис підпростору утворюють вектори , , Базис . Оскільки , підпростір співпадає з усім простором . Тому, за алгоритмом, початковий базис підпростору доповнюється до базису простору . Оскільки береться лише один доповнюючий вектор, лінійно незалежний з векторами . Таким вектором можна взяти . Отже, базис утворюють вектори , , . В цій системі вектори висоти 1, вектор висоти 2, вектор висоти 3. Доповнюючим вектором до останнього базису є вектор висоти 3. Отже, за цим вектором будуємо першу серію, яка складається з 3-х векторів. Першим вектором береться вектор . Другим вектором береться вектор B (а 4):
B (а 4)= Третім вектором береться вектор B 2(а 4):
B 2(а 4)= Отже, першу серію утворюють вектори , B (а 4) , B 2(а 4) В цій серії вектор висоти 3, вектор B (а 4) висоти 2, а тому B (а 4) , вектор B 2(а 4) висоти 1, а тому B 2(а 4) . Число векторів в серії менше розмірності простору, отже серія не утворює базису простору, тому процес будування серій продовжується. Будується новий базис підпростору . За методом, до цього базису включається початковий базис підпростору , тобто вектори , . Далі, до нового базису включаються вектори висоти 2 з усіх побудованих серій. У даному випадку існує лише одна серія, в якій вектором висоти 2 є B (а 4) . Але . Ми одержали в новому базисі підпростору 3 вектори , , B (а 4) . Доповнюючих векторів немає, а тому немає нових серій. Число векторів в побудованих серіях дорівнює 3, що менше розмірності простору, отже будуємо новий базис підпростору . Оскільки підпростір базису не має, до нового базису включаємо вектори висоти 1 з усіх побудованих серій. Існує лише одна серія, в якій вектором висоти 1 є вектор B 2(а 4)= Оскільки цей вектор доповнюється до базису підпростору ще одним вектором. Доповнюючий вектор можна взяти з початкового базису підпростору , виходячи з умови лінійної незалежності з вектором B 2(а 4) . Беремо, наприклад, вектор . Новий базис утворюють вектори: B 2(а 4) , У цьому базисі доповнюючим вектором є . За цим вектором будуємо другу серію. Вектор висоти 1, а тому серія складається лише з одного вектора. Другу серію утворює вектор Число векторів у двох побудованих серіях дорівнює . Тому серії утворюють базис простору. У кожній серії переставляємо вектори у зворотньому порядку і одержуємо жорданів базис , , . Для побудови жорданової матриці у цьому базисі враховуємо, що єдиним власним числом є . Тому всі жорданові клітинки з параметром . Кожній серії відповідає одна клітинка, порядок якої співпадає з довжиною серії. Вектори , , утворюють серію довжини 3, якій відповідає клітинка порядку 3. Вектор утворює серію довжини 1, якій відповідає клітинка порядку 1. Розташування клітинок на діагоналі жорданової матриці відповідає порядку розміщення серій в жорданові базисі. Отже, одержуємо жорданову матрицю
|