Дифференцирование функции, заданной неявно.

Лекция № 5

1. Случай одной независимой переменной. Пусть уравнение , где – дифференцируемая функция переменных и , определяет как функцию от . Тогда производная этой неявно заданной функции при условии, что , может быть найдена по формуле (1)

Пример 1. Найти , если .

2. Случай нескольких независимых переменных. Пусть уравнение , где – дифференцируемая функция переменных , и определяет как функцию независимых переменных и . Тогда, при условии что , частные производные этой неявно заданной функции могут быть найдены по формулам , (2)

Другой способ нахождения производных функции следующий: дифференцируя уравнение , получим . Отсюда можно определить , а следовательно, и .

Пример 2. Найти и , если .

Решение. 1-й способ. , , . Далее, применяем формулу (2), получим ;

.

2-й способ. Дифференцируя данное уравнение, получим

.

Отсюда .