Главная страница Случайная страница КАТЕГОРИИ: АвтомобилиАстрономияБиологияГеографияДом и садДругие языкиДругоеИнформатикаИсторияКультураЛитератураЛогикаМатематикаМедицинаМеталлургияМеханикаОбразованиеОхрана трудаПедагогикаПолитикаПравоПсихологияРелигияРиторикаСоциологияСпортСтроительствоТехнологияТуризмФизикаФилософияФинансыХимияЧерчениеЭкологияЭкономикаЭлектроника |
Регрессионный анализ. Цель регрессионного анализа – установление вида и параметров аналитической зависимости математического ожидания М(у) от уровней одного им нескольких факторов
Цель регрессионного анализа – установление вида и параметров аналитической зависимости математического ожидания М(у) от уровней одного им нескольких факторов Х, когда результаты эксперимента представлены в виде независимой выборки пар . Искомая функция называется моделью регрессионного анализа или регрессионной моделью Y на Х. Коэффициенты регрессии – параметры установленной регрессионной модели. Особенность построения регрессионной модели состоит в том, что наличие случайных ошибок измерения (т.е. наличие «шума» в эксперименте) делает неразумным подбор такой формулы, которая точно описывала бы все опытные данные. Другими словами, график искомой функции не должен проходить через все экспериментальные точки (Рис. 1), а должен сглаживать «шум». Основные допущения регрессионного анализа: 1. Отклик Y – случайная величина с нормальным законом распределения. При большом объеме экспериментальных исследований гипотеза о нормальности распределения можно проверить используя критерий х2. Нарушение нормальности распределения величины Y может привести к получению численных оценок, за которыми ничего не стоит.
Рисунок 1 - Пример «сглаживания» экспериментальных данных.
2. Дисперсия Y не зависит от ее абсолютной величины. Т.е. погрешность измерения величины отклика подчиняется нормальному закону распределения с математическим ожиданием равным нулю. Верны гипотеза однородности дисперсии в разных точках факторного пространства. 3. Значения факторов неслучайные величины, некоррелированны между собой. Обозначим выбранную функциональную зависимость в виде: , где – параметры регрессионной модели, подлежащие определению. Если нет теоретических соображений о виде регрессионной модели, то ее представляют в виде полинома: , в случае линейной модели: э В виде степенного ряда: В виде тригонометрического ряда: В виде суммы ортогональных многочленов Чебышева: Для нахождения параметров регрессионной модели используют метод наименьших квадратов. Содержание метода наименьших квадратов. Поиск параметров регрессионной модели состоит в нахождении минимума следующей функции: – для случая если все измерены с одинаковой точностью, или: - для случая неравноточных измерений, где – веса измерений. Если все измерения отклика проведены с одинаковой точностью, но при различном числе измерений при каждом значении , то весами измерений могут служить количества измерений в сериях (к=1, 2, …, N) / Минимум функции S означает равенство нулю всех частных первых производных данной функции: Таким образом, для (n +1) неизвестного имеем систему (n +1) уравнений. Если в регрессионную модель параметры входят линейно, то последняя система уравнений будет также линейна относительно этих параметров.
Планирование эксперимента. Полный факторный эксперимент
|