Главная страница Случайная страница КАТЕГОРИИ: АвтомобилиАстрономияБиологияГеографияДом и садДругие языкиДругоеИнформатикаИсторияКультураЛитератураЛогикаМатематикаМедицинаМеталлургияМеханикаОбразованиеОхрана трудаПедагогикаПолитикаПравоПсихологияРелигияРиторикаСоциологияСпортСтроительствоТехнологияТуризмФизикаФилософияФинансыХимияЧерчениеЭкологияЭкономикаЭлектроника |
Уравнение неразрывности. Выделим в движущемся газе элементарный объем в форме параллелепипеда (рис
Выделим в движущемся газе элементарный объем в форме параллелепипеда (рис. 8.2) и запишем условие неизменяемости массы во времени для этого элемента. Это условие будет выражать закон сохранения массы: , (8.12) где - объем элемента; - средняя плотность элемента. Рисунок 8.2 Схема течения потока через стенки элементарного параллелепипеда Дифференцируем, имея в виду, что и - переменные величины: . (8.13) Разделив уравнение (8.13) на , получим уравнение неразрывности в виде: . (8.14) Производная выражает скорость изменения объема или, следовательно, скорость объемной деформации жидкой частицы, а представляет собой скорость относительной объемной деформации. Определим величину скорости относительной объемной деформации частицы, выразив ее через соответствующие проекции скорости , и . Подсчитаем линейную деформацию частицы в направлении оси (рис. 8.2). Скорость левой грани () равна , а скорость правой () - . Предположим, что в пределах каждой из рассматриваемых граней параллелепипеда скорости постоянны. За элемент времени левая грань переместится на расстояние вправо. За тот же отрезок времени грань переместится в том же направлении на расстояние . Следовательно, объем элемента изменится, так как скорости этих двух граней различны. Подсчитав абсолютное изменение объема частицы по направлению оси , получим: . (8.15) Рассуждая аналогично, для других двух пар граней можно получить приращения объема частицы по осям и в следующем виде: , (8.16) . (8.17) Полное изменение объема частицы определяется как сумма этих приращений. Следовательно, скорость относительной объемной деформации определяется: , (8.18) так как объем элемента . Подставив (8.18) в уравнение неразрывности (8.14), получим: . (8.19) Частные производные , , определяют величины скоростей относительных линейных деформаций граней параллелепипеда. Так как , то полная производная плотности равна: . (8.20) Имея в виду, что , , , получим: . (8.21) Представим уравнение (8.19) в следующем виде: и учитывая (8.21) получим: . (8.22) Если движение является установившимся, то . Уравнение (8.22) является уравнением неразрывности газового потока в дифференциальной форме. Это уравнение было впервые получено Эйлером в 1659 г.
|