Как рассчитать длительность переходного процесса в цепи второго порядка в случае комплексных сопряжённых корней характеристического уравнения?

Ответ: Цепи второго порядка содержат два реактивных элемента; это могут быть две индуктивности, две емкости или емкость с индуктивностью. Кроме того, цепь включает некоторое количество резистивных элементов и независимых источников энергии, которые для простоты анализа будем считать стационарными. В зависимости от наличия тех или иных реактивных элементов, решение задачи следует искать или для переменной состояния i_L (t), или для u_C (t). Форма записи решения определена общей теорией:

(3.17)

(3.18)

где p₁ и p₂ - корни характеристического уравнения. Поиск решения выполняется в той же последовательности, что и для цепей первого порядка: 1. Находят корни характеристического уравнения. Они могут быть вещественными разными и отрицательными или вещественными кратными и отрицательными или комплексно-сопряженными с отрицательной вещественной частью; 2. Из анализа цепи после коммутации определяют принужденную составляющую режима или , что можно сделать, если в цепи продолжают действовать стационарные источники питания; 3. Исследуя основные и неосновные начальные условия, находят постоянные интегрирования , или , . Рассмотрим подробнее каждый шаг решения. 1. Определение корней характеристического уравнения. Характеристическое уравнение может быть получено классическим методом путем составления системы уравнений по законам Кирхгофа с последующим сведением этой системы к одному дифференциальному уравнению второго порядка. Этот способ подробно описан в учебной литературе и здесь не рассматривается. Как показывают примеры, рассмотренные ранее, этот путь сопровождается достаточно громоздкими преобразованиями. Было замечено, что характеристическое уравнение содержится внутри

функции входного сопротивления как некоторый инвариант, присущий данной цепи. Рассмотрим этот способ получения характеристического уравнения путем исследования входного сопротивления на примере цепи, представленной на рис.3.13а. Будем считать, что цепь питается от источника постоянного тока и содержит два резистивных сопротивления, индуктивность и емкость. После коммутации (t > 0) (ключ S замыкается) переходный процесс в цепи, изображенной на рис.3.13б, развивается за счет независимого источника тока, а также за счет энергии, запасенной в реактивных элементах цепи. Свободная составляющая режима, определяемая корнями характеристического уравнения, не зависит от внешнего источника питания, а определяется только параметрами элементов ветвей и способом их соединения. Точно так же не зависит от внешних источников питания и функция входного сопротивления [1]. Поэтому возникает идея поискать корни характеристического уравнения внутри функции входного сопротивления. На рис.3.13в и рис.3.13г представлены комплексные схемы замещения цепи, которые следует составить для определения входного сопротивления со стороны

первой и третьей ветви, где .

а) б)

в) г)

Рис. 3.13. Схема RLC -цепи второго порядка:

а)исходная цепь; б)схема после коммутации; в)входное сопротивление со стороны третьей ветви; г)входное сопротивление со стороны первой ветви. Объединяя параллельно и последовательно соединенные ветви, найдем входные сопротивления со стороны обозначенных зажимов:

Числители полученных выражений совпадают, а знаменатели различны. Аналогичный результат получим, если найдем входное сопротивление со стороны второй ветви. Следовательно, числитель входного сопротивления со стороны любой ветви является некоторым расчетным инвариантом, определяемым топологией цепи. Числитель этого инварианта при замене комплексной переменной j ω на p совпадает с характеристическим полиномом. Используя эту замену и, приравнивая числитель к нулю, получим характеристическое уравнение:

или

После замены в числителе переменной j ω на p и деления на коэффициент при старшем члене получим уравнение второй степенин.Найдем корни этого уравнения

На основании этого анализа сформулируем порядок получения характеристического уравнения цепи: а. Для времени t > 0 следует изобразить комплексную расчетную цепь; б. Исключить из схемы все независимые источники энергии: источники тока разомкнуть, источники напряжения замкнуть накоротко. Найти входное сопротивление со стороны любой ветви и записать это выражение в виде дробно-рациональной функции, где в числителе и в знаменателе образуются полиномы по степеням j ω:

в. Числитель полученного выражения, совпадающий с характеристи-ческим полиномом, приравнять к нулю, предварительно заменив переменную j ω на p. Найти корни характеристического уравнения и записать решение для искомой переменной состояния в виде (3.17) или (3.18).

Рис. 3.14. Схема для определения принужденных составляющих режима

2. Определение принужденной составляющей режима при стационарном воздействии находят для момента времени t = ∞, когда переходный процесс в цепи уже закончен. Для рассматриваемого в примере режима постоянного тока исследуемая схема приведена на рис.3.14, где индуктивность заменена короткозамкнутой перемычкой, а емкость разрывом. Используя правило деления тока на части, найдем:

3. Постоянные интегрирования A₁ и A₂ (или B₁ и B₂) можно найти на основании основных и неосновных начальных условий. Основные начальные условия определяются законами коммутации по схеме докоммутационного состояния цепи. Для рассматриваемого примера такая схема приведена на рис.3.15а, из анализа которой следует:

что дает одно уравнение для определения постоянных интегрирования:

(3.19)

или

(3.20)

Второе уравнение получим из анализа неосновных начальных условий, которые определяются исследованием энергетического состояния цепи для момента времени t = 0+. К этим условиям относят численные значения напряжений на индуктивностях и токов в емкостях в первый момент после коммутации, которые претерпевают скачок в момент коммутации и связаны с переменными состояния известными дифференциальными соотношениями:

(3.21)

Для рассматриваемого примера анализируемая схема цепи представлена на рис.3.15б. Особенностью этой цепи по сравнению с исходной является появление двух новых внутренних источников энергии, которые обусловлены законами коммутации и перешли в анализируемую схему из предыдущей схемы рис.3.15а. Фактически исследуется цепь постоянного тока, содержащая резистивные элементы, а также внешние и внутренние источники энергии. Расчет цепи может выполняться любым методом. Целесообразно, например, использовать законы Кирхгофа или метод наложения.

а) б)

Рис. 3.15. Схема для анализа состояния цепи:

а)до коммутации; б)в первый момент после коммутации.

Составим уравнение равновесия напряжений для контура k, который включает искомое напряжение на источнике тока . Ток в сопротивлении определен этим источником, поэтому напряжение u _L (0+) находится сразу

После подстановки найденных ранее значений получим .

На основании первого закона Кирхгофа, найдем ток в емкости :

где

После подстановки в уравнение равновесия получим:

Используя общий вид решения (3.17) и (3.18), найдем:

(3.22)

(3.23)

Для исследуемого момента времени t = 0+ имеем равенства:

(3.24)

(3.25)

Объединяя уравнения (3.19) и (3.24) в систему, найдем постоянные интегрирования A₁ и A₂:

Подстановка значений A₁ и A₂ в выражения (3.17) и (3.22) позволяет окончательно записать ток и напряжение в индуктивности. Другие токи и напряжения могут быть найдены путем решения обратной задачи:

1.Напряжение на втором резистивном элементе:

2.Напряжение на емкости:

3.Ток в емкости:

4.Ток в первом резистивном элементе:

Решение задачи через определение переменной состояния на этом можно считать законченным. Второй путь решения заключается в первоначальном определении напряжения на емкости, что предполагает нахождение постоянных интегрирования B₁ и B₂. Это можно осуществить, объединив в систему уравнения (3.20) и (3.25):

Решение системы:

Подставив постоянные интегрирования B₁ и B₂ в выражения (3.18) и (3.23), окончательно найдем напряжение и ток в емкости. Решением обратной задачи определим:

1.Ток в первом резистивном элементе:

2. Ток в индуктивности:

3.Напряжение на индуктивности:

4.Напряжение на втором резистивном элементе:

Задача решена.