Решение. Матрица данной системы такова, что диагональные элементы близки к единице, а все остальные – значительно меньше единицы

Матрица данной системы такова, что диагональные элементы близки к единице, а все остальные – значительно меньше единицы. Поэтому для применения метода итераций естественно записать систему в виде

Условия сходимости для полученной системы выполнены

Берем в качестве начального вектора х⁽⁰⁾ столбец свободных членов, округлив его элементы до двух знаков после запятой:

Далее последовательно находим при k = 1

при k = 2

при k = 3

Значения неизвестных при k =2 и k = 3 отличны не более чем на 0, 003, поэтому, если в качестве приближенных значений неизвестных взять , , то погрешность этих приближенных значений не превзойдет

Метод отделения корней уравнений

В данной задаче . Согласно теореме 3.1 уравнение имеет пять корней. Поскольку , то по следствию из теоремы 3.2 уравнение имеет по крайней мере один действительный корень.

Оценим модули корней по теореме 3.3. Так как

то или , т.е. все корни лежат внутри данного кольца. По следствию из теоремы 3.3 это означает, что положительные корни удовлетворяют неравенству , а отрицательные — неравенству .

Применим теоремы 3.4 и 3.5 для уточнения приведенных результатов. Найдем верхнюю границу положительных корней. Так как — первый отрицательный коэффициент в последовательности , то , а — наибольшая из абсолютных величин отрицательных коэффициентов. Следовательно, .

Найдем нижнюю границу положительных корней. Составим уравнение:

или (старший коэффициент должен быть положительным). Для этого уравнения , поэтому . Отсюда .

Уточним границы отрицательных корней. Составим уравнение:

или .

Для этого уравнения , поэтому . Составим уравнение

или . Для этого уравнения , поэтому . Отсюда находим: . Заметим, что данный результат совпадает с полученным ранее.

Исследуем структуру корней уравнения. Так как квадрат каждого некрайнего коэффициента больше произведения двух его соседних коэффициентов, то по теореме 3.7 необходимое условие действительности всех корней уравнения выполняется.

На основе теоремы 3.6 определим число положительных и отрицательных корней. Выписываем коэффициенты многочлена . Так как число перемен знака , то число положительных корней равно трем или меньше на четное число, т.е. равно 1. Далее выписываем коэффициенты многочлена . Так как число перемен знаков , то число отрицательных корней равно двум или меньше на четное число, т.е. их вообще нет.

Метод касательных

Найти корень уравнения упрощенным методом Ньютона.

Корень уравнения отделен в примере 3.2: .

1. Выберем начальное приближение и зададим и .

2, 3. Выполним расчеты по формуле (3.19):

Результаты расчетов приведены в табл. 3.15.

При получено решение , а при — решение . Очевидно, по сравнению с методом Ньютона сходимость замедляется

Метод половинного деления

В примере 3.3 были отделены корни уравнения. Уточним корень, лежащий на отрезке . Результаты расчетов поместим в табл. 3.2.

В результате найден интервал и приближенное значение корня .

Метод половинного деления

Метод хорд

Найти корень уравнения методом хорд с точностью .

Рассмотрим задачу нахождения корня на отрезке (см. пример 3.2). Так как , a на отрезке , то и, следовательно, имеем второй случай (см. рис. 3.7, б).

Положим . Тогда по формуле (3.8) получаем

Так как , то положим и продолжим процесс:

Так как , то положим и продолжим процесс:

Поскольку , положим

Так как , положим

Поскольку , положим

Так как , положим

Поскольку , положим

Так как , то корень уравнения . Из анализа поведения следует, что сходимость метода хорд линейная, однако более быстрая, чем сходимость метода половинного деления.

Вывод