Рівняння. Поняття рівняння тісно пов’язане з поняттям виразу, змінної, рівності.

Поняття рівняння тісно пов’язане з поняттям виразу, змінної, рівності.

З рівняннями діти ознайомлюються у 3 класі. Відповідна підготовча робота розпочинається з 1 класу. Вона передбачає виконання вправ з “віконцями” та знаходження невідомого компонента арифметичних дій на основі зв’язків між компонентами та результатами арифметичних дій.

Розв’язування рівнянь. Ознайомлення з рівняннями ґрунтується на двох вправах, поданих нижче.

Вправа І. Порівняй і замість зірочки постав знак “> ”, “< “ або “=”, якщо відомо, що в усіх випадках х = 5.

х+ 22 * 25 х~ 2 * 10

х + 5 * 10 х— 1*4

Після перевірки правильності виконання завдання вчитель пропонує учням виписати в окремий рядок усі рівності і повідомляє їм, що рівності зі змінною (з невідомим) називають рівняннями. У кожному з виписаних рівнянь невідоме дорівнює 5. Це розв’язок кожного з даних рівнянь.

Вправа 2

13 ~х = 8 х + 5 = 10 х~ 1 = 4

Це — рівняння. Розв’язати рівняння означає знайти те числове значення букви, при якому рівність буде правильною.

Перевірте (усно), чи правильно розв’язані рівняння, х + 8 = 11 20 + х = 52

х = 11 - 8 л: = 52 — 20

х = 3 х = 32

Після виконання завдання вчитель повідомляє, що невідомий доданок у рівнянні можна знаходити добором або за правилом знаходження невідомого доданка.

На наступному уроці вчитель подає зразок міркування при розв’язуванні рівняння на знаходження невідомого доданка.

Міркування. У рівнянні х + 7 = 70 невідомий перший доданок, відомі другий доданок і сума. Щоб знайти невідомий доданок, треба від суми відняти відомий доданок. Запишемо рівняння так: х + 7 = 70 х= 70 — 7 = 63 Перевіримо (усно):

63 + 7 = 70

70 = 70

Рівняння на знаходження зменшуваного або від’ємника пропонують учням після повторення правил на знаходження відповідних компонентів.

У 3 класі діти вчаться розв’язувати рівняння на знаходження невідомого множника, діленого, дільника. Кожне з цих рівнянь розглядають одразу після ознайомлення з відповідним правилом. До розгляду правил учні мають справу

3 рівняннями цього виду на рівні вправ з “віконцями”. У процесі формування вмінь розв’язувати рівняння практикують як усне розв’язування, так і з записами у зошиті.

З усіма різновидами рівнянь на знаходження невідомого компонента учні ознайомлюються в 3 класі. У 4 класі вони лише закріплюють навички, розв’язують рівняння в нових числових межах. Однак вважаємо, що учнів

класу потрібно ознайомити з розв’язуванням рівнянь на дві операції.

23. Числові рівності і нерівності

Тотожне перетворення числового виразу — це заміна одного виразу іншим без зміни його значення. В процесі обчислень складених виразів ми постійно виконуємо тотожні перетворення.

Процес перетворення виразів, крім безпосередніх обчислень, відбувається під час виконання ряду вправ. Найбільш типовими серед них є такі: заміна числа сумою двох доданків (7 = 2 + 5); заміна числа розрядними доданками (235 = 200 + ЗО + 5); перетворення виразу на основі означення дії множення (4 + 4 + 4 = 4 • 3); обчислення у вигляді ланцюжка рівностей (7 + 8 = 7 і + (3 + 5) = 10 + 5 = 15); ілюстрування правил чи властивостей арифметичнії і дій ((20 —3) • 4 = 20 • 4 - 3 • 4).

Одним з видів роботи з перетворення виразів є їх порівняння. У початкомич класах його проводять здебільшого на основі порівняння значень виразін

У деяких вправах порівняння виконують на основі властивос'П'11 арифметичних дій. Саме в цих випадках більше виявляється “тотожнісп. виразів”. Наприклад: 4 • 3 + 4 • 6 = 4 • (3 + 6).

Порівняння виразів з використанням знаків “більше”, “менше" і “дорівнює” допомагає у розвитку самоконтролю під час проведенпч обчислень, стає основою у формуванні уявлень про числові, рівності І нерівності, про нерівності зі змінною.

У діючих підручниках вправ на порівняння достатньо, практикуються різні форми подання завдань (наприклад, порівняйте значення виразів і поставте потрібний знак; запишіть приклади, в яких відповідь менша за 50; випишіть вирази, між якими треба поставити знак та ін.).

Порівняння виразів і поняття про рівність використовуються під час ознайомлення з деякими властивостями арифметичних дій. Наприклад, порівнюючи вирази виду 7 + 3 і 3 + 7, учні знаходять, що значення виразів однакові. Отже, можна записати, що 7 + 3 = 3 + 7, і зробити висновок про переставну властивість додавання.

Потрібно стимулювати дітей до порівняння виразів на основі міркування. Наприклад: 9*9 — 3. Зліва — число 9, справа — від числа 9 відняли 3. Отже, справа стало менше, ніж 9. Тому 9 > 9 - 3.

9 + 3 * 10 + 5. У сумах зліва і справа перший доданок — 10.

Другий доданок зліва — 3, а справа — 5. Зліва додали менше, ніж справа. Отже, 10 + 3 < 10 + 5.

5 + 5 + 5 + 5*5-3. Зліва число 5 береться доданком 4 рази, а справа — тільки 3 рази. Отже, значення виразу зліва більше, ніж значення виразу справа, тому 5 + 5 + 5 + 5> 5-3.

Корисні і подобаються учням вправи на порівняння виразів способом зміни порядку виконання арифметичних дій за допомогою дужок (наприклад, розставити дужки так, щоб рівності були правильними: 31 - 10 - 3 = 24; 4 • 7 - 4: 2 = 20).

24. Довжина. На першому етапі слід з’ясувати практичне значення ви мірювання, сам його процес. Учні отримують уявлення про сантимеі|і і вимірюють довжину відрізка за допомогою моделей сантиметра.

Потім діти ознайомлюються з лінійкою (покажіть початок лінійки, початок її відліку, перший, другий і т. д. сантиметр). Вони навчаються виконувані окремі операції: розміщувати аркуш паперу так, щоб руки і лінійка не закривали відрізка, який вимірюють; суміщати початок відліку лінійки і початком вимірюваного відрізка; розміщувати чотири пальці лівої руки так, щоб вони притискували середину лінійки до аркуша паперу.

Ознайомлення з дециметром та вимірювання довжини предметів і відрізків у дециметрах і сантиметрах проводяться під час вивчення чисел другого десятка. Учитель креслить на дошці відрізок завдовжки 50 см і пояснює, що вимірювати його довжину сантиметром незручно. Тому треба мати більшу одиницю вимірювання довжини. Потім показує смужку завдовжки 1 дм. Учні, маючи такі самі смужки, прикладають їх до шкали лінійки і встанов люють, що 1 дм = 10 см.

Первинне закріплення проводять за завданнями підручника. Учні розглядають моделі 1 см і 1 дм, визначають довжини відрізків, які поділено на сантиметри.

Ознайомлення з метром (у процесі вивчення нумерації чисел 21 — 100) проводять за таким планом: бесіда вчителя, за допомогою якої він підводить учнів до висновку, що великі відстані краще вимірювати більшими одиницями мір; показ демонстраційного метра для безпосереднього зорового сприймання; повідомлення співвідношень: 1 м = 100 см, 1 м = 10 дм; розгляд моделей метра, виготовлених з різних матеріалів; самостійне виготовлення дітьми метра з паперових смужок; вправи на вимірювання.

Вправи на вимірювання бувають подвійного роду: вимірювання відстані між двома пунктами (точками), наприклад, довжини та висоти класу, довжини шнурка та ін.; відмірювання відстаней, що дорівнюють даному числу метрів (наприклад, відміряти 3 м ниток).

У 3 класі вводяться нові одиниці вимірювання довжини (міліметр, кілометр), буквене позначення відрізків. Відрізки широко використовують пня розгляду понять збільшення і зменшення числа в кілька разів, кратного порівняння чисел та ін.

У 4 класі передбачається узагальнення набутих раніше знань, умінь і павичок вимірювання довжини. Учні під керівництвом вчителя складають іаблицю одиниць вимірювання довжини (табл. 32).

Таблиця 32

Під час виконання практичних завдань, розв’язування задач, обчислення ішразів часто доводиться перетворювати складене іменоване число на просте і, навпаки, просте число на складене. Подамо зразки міркувань.

1. Подайте 3 790 см у метрах і сантиметрах. Один метр — це сто сантиметрів, тобто одна сотня сантиметрів. У числі 3 790 см стільки метрів, скільки в ньому всього сотень. У числі 3 790 всього 37 сотень. Отже, 3 790 см — цс 37 м 90 см.

2. Подайте 26 км 370 м у метрах.

Один кілометр — це одна тисяча метрів. 26 км — це 26 тисяч метрів та ще 370, буде 26 370 м.

25. Площа. З поняттям площі діти мають справу постійно. Вже дошкільники порівнюють предмети за площею (не називаючи самого слова “площа”). Ііони порівнюють не накладанням, а на око (наприклад, листок дуба більший, ніж листок берези). У початкових класах уявлення про площу стають чіткішими: фігури можуть бути різними й однаковими за площею.

У 4 класі учні ознайомлюються з поняттям площі. Вчитель повідомляє про те, що в розмовах, передачах по радіо, телебаченню часто можна почути: посівна площа, житлова площа, площа квартири, площа класної кімнати; що серед предметів, котрі нас оточують, багато таких, поверхня яких має форму трикутника, прямокутника, круга (дно каструлі — круг; підлога, стіни кімнати, класна дошка — прямокутники), кожна з них має площу. Порівнюючи площі фігур, виставлених на набірному полотні (наприклад, круг, трикутник, квадрат), діти встановлюють, що квадрат займає більше місце, ніж круг або трикутник. Учитель констатує, що в такому разі калVI* що площа квадрата більша, ніж площа кожної іншої фігури. Він зазначці що площа — це величина, яку можна не тільки порівнювати, а й вимірній Учні порівнюють площі фігур (мал. 113): найбільшу площу має прямокутно, площа квадрата більша, ніж площа круга або трикутника; проте порішиш» площі трикутника і круга важче. Після цього вчитель ставить завдання о мі годні на уроці ми будемо вчитися вимірювати площу).

Мал. 113

Далі він демонструє квадрат зі стороною 4 см і прямокутник зі сторонами З см і 5 см, пропонує порівняти площі цих фігур. Після одержання відпонІліЦ учитель повертає фігури, які на зворотному боці поділені на квадрат Підрахувавши ці квадрати, учні дізнаються, що площа квадрата більшії ні площу прямокутника.

Ознайомивши учнів з квадратним сантиметром, учитель проводи и. практичну роботу, пов’язану зі знаходженням площі фігур способом розбп 11 н її на квадратні сантиметри. Після цього знаходять площі прямокутнім їм (мал. 114, де лінійні розміри зменшено)

Мал. 114

Виміряйте довжину і ширину першого прямокутника. Яка його довжина і ширина? (8 см і 1 см). Як знайти площу прямокутника? (Розбити на квадраті сантиметри). Скільки їх? (8). У цьому прямокутнику вміщується стільці квадратних сантиметрів, скільки лінійних сантиметрів міститься в довжині Скільки квадратних сантиметрів у другому прямокутнику? (16). Як іш дізналися? (В одному ряду 8 см², а таких рядів 2). Як по-іншому мо ї ми полічити квадрати? (В одному стовпчику 2 см², а таких стовпчиків 8).

Знайдіть площу третього прямокутника. Не розбивайте весь прямокутно на квадрати. Покажіть тільки ряди, один з них розбийте на квадраті сантиметри. Яка площа прямокутника? (24 см²). Як ви про це дізнались? Як по-іншому можна знайти площу прямокутника? Чи потрібно розбивати прямі > кутник на ряди і квадрати? Чи можна відразу знайти площу прямокутники 1 Що для цього потрібно знати? (Довжину і ширину прямокутника).

Окремий урок відводиться для ознайомлення учнів з новими одиницями вимірювання площі. Вводяться відразу всі одиниці вимірювання плоіііі передбачені програмою. Основу бесіди складає таке повідомлення: “Площа одна з математичних величин. Для її вимірювання користуються не тільки

мівдратними сантиметрами, а й іншими одиницями. В табл. 33 подано одиниці намірювання площі, які найчастіше застосовуються в практичній діяльності”.

У процесі подальшого вимірювання й обчислення площі прямокутника і розв’язування задач на обчислення площі слід мати на увазі такі моменти:

1. Діти повинні достатньо практикуватися у вимірюванні площ прямокутників на моделях та малюнках.

2. Кожен учень має виконати 2—3 завдання на вимірювання площі класної дошки, вікна, поверхні кришки стола, підлоги, стіни класної кімнати, К'мельної ділянки тощо.

Таблиця 33

1 мм^[1] — це площа квадрата, сторона якого 1 мм.

1 см² — це площа квадрата, сторона якого 1 см.

1 дм² — це площа квадрата, сторона якого 1 дм.

1 м² — це площа квадрата, сторона якого 1 м.

Ар — це площа квадрата, сторона якого 10 м.

Ар — це сота частина гектара (сотка).

Гектар (га) — це площа квадрата, сторона якого 100 м.

Третій ступінь роботи над задачами цього виду (як і над задачами інших видів) передбачає тривалу практику розв’язування таких задач, творчу роботу над ними.

1 км² — це площа квадрата, сторона якого 100 м.