Тензорно-матричный метод

Методические указания

К выполнению лабораторной работы № 2 на тему

«Прямая задача кинематики о положениях»

Цель работы: Провести расчёт положения схвата для заданной кинематической схемы манипулятора тензорно-матричным методом.

Теоретические сведения

Прямая задача кинематики о положениях состоит в определении абсолютных положений звеньев при их заданных относительных положениях.

Тензорно-матричный метод

Для определения величины результирующего радиус-вектора крайней точки многозвенного механизма, необходимо, составить соответствующее матричное уравнение, характеризующее положение крайней точки, относительно базовой системы координат.

Для тензорно-матричного метода нет необходимости изменения систем координат звеньев. Достаточно записать соответствующие матрицы поворота и переноса для базовой системы координат совмещенной с системами координат соответствующих звеньев. При решении прямой задачи о положении схвата манипулятора обычно используют метод преобразования координат.

Рассмотрим трехмерную декартовую систему координат, являющуюся правосторонней. Примем соглашение, в соответствии с которым будем считать положительными такие повороты, при которых (если смотреть с конца полуоси в направлении начала координат) поворот на 90° против часовой стрелки будет переводить одну полуось в другую. На основе этого соглашения строится следующая таблица, которую можно использовать как для правых, так и для левых систем координат:

Матрицы поворота М определяют поворот системы координат соответствующего звена для корреляции относительно предыдущего по порядку. В зависимости от поворота вокруг соответствующей оси выделяется три стандартных типа матриц поворота. Повороты вокруг осей Х, Y и Z определяются соответственно матрицами:

, (1)

, (2)

. (3)

Подставляя значения углов поворота относительно соответствующих осей, определяем матрицы поворота.

В сочетании с матрицами поворота, учитываются так называемые матрицы переноса L, по факту являющиеся векторами. Они определяют линейные смещения систем координат звеньев друг относительно друга. В общем виде, матрица L имеет следующий вид:

. (4)

Положение схвата манипулятора, описываемое радиусом вектором

, (5)

определяется векторным уравнением, сочетающим комбинацию длин векторов переноса с перемещениями звеньев и матриц переноса . Построение уравнения начинается с крайнего звена и по порядку, вплоть до начального.

Каждое следующее добавление нового элемента в выражение по определению положения схвата сопровождается, либо добавлением нового слагаемого в виде линейного перемещения звена, либо матрицы поворота, при угловом перемещении (2, 5).

(6)