Поверхность Бианки-Амслера и другие поверхности

Итальянский математик Л. Бианки в 1927 г. в известном курсе по дифференциальной геометрии (L. Bianchi “Lezioni di Geometria Differenziale”) указал на возможность существования в пространстве поверхности кривизны , содержащей две пересекающиеся прямолинейные образующие. Отличительным свойством такой поверхности является то, что ей отвечает решение уравнения синус-Гордона (15) специального типа – автомодельное решение переменной , редуцирующее уравнение (15) к виду обыкновенного дифференциального уравнения:

(20)

Вследствие замены уравнение (20) переходит в уравнение

определяющее так называемую третью трансцендентную функцию Пенлеве. Характерным свойством трансцендентных функций Пенлеве третьего типа (класса специальных функций) является неподвижность (то есть независимость от выбора начальных данных) их точек ветвления.

Последующие результаты по исследованию псевдосферической поверхности, связанной с решением уравнения синус-Гордона , принадлежат Амслеру(1955 г.), проанализировавшему (в том числе и численно) её качественный вид. В приложении №3 представлена поверхность Бианки–Амслера, отвечающая части решения , определенной на отрезке между и вблизи нуля. Поверхность имеет структуру, состоящую из закручивающихся и сужающихся на бесконечности полос, регулярно сопряженных в начале координат. Последние результаты по асимптотике третьих трансцендентных функций Пенлеве подтверждают качественные представления Амслера о поверхности и указывают на ее многослоевую подобную структуру, обусловленную осцилляциями функций Пенлеве на бесконечности.

В заключение этого раздела представим в приложении №4 галерею компьютерно визуализированных псевдосферических поверхностей, аннонсированных в различных последних научных публикациях. Эти поверхности соответствуют различным типам решений уравнения синус-Гордона, получаемым посредством метода обратной задачи рассеяния – одного из эффективных современных методов интегрирования нелинейных уравнений. Приложениями возникающей при этом солитонной теории к построению псевдосферических поверхностей активно в настоящее время в мире занимаются многие ученые, среди которых особо отметим М. Мелко и И. Стерлинга, из работы которых (Annals of Global Analysis and Geometry. 1993. Vol. 11. P. 65–107), в частности, приведены изображения поверхностей, демонстрирующие изящные проявления геометрии Лобачевского в трехмерном евклидовом пространстве.

Аналитическая классификация подобных поверхностей только складывается.