Главная страница Случайная страница КАТЕГОРИИ: АвтомобилиАстрономияБиологияГеографияДом и садДругие языкиДругоеИнформатикаИсторияКультураЛитератураЛогикаМатематикаМедицинаМеталлургияМеханикаОбразованиеОхрана трудаПедагогикаПолитикаПравоПсихологияРелигияРиторикаСоциологияСпортСтроительствоТехнологияТуризмФизикаФилософияФинансыХимияЧерчениеЭкологияЭкономикаЭлектроника |
Числовые ряды
- называется бесконечным числовым рядом - называется членами ряда - называют частичной суммой Ряд называется сходящимся, если его частичная сумма при неограниченном возрастании стремится к конечному пределу, т.е. если . Число называют суммой ряда. Если же частичная сумма ряда при не стремится к конечному пределу, то ряд называют расходящимся, Ряд , составленный из членов любой убывающей геометрической прогрессии, является сходящимся и имеет сумму . Ряд , называется гармоническим, ряд расходится. Приведем основные теоремы о сходящихся числовых рядах. 1. Если сходится ряд то сходится и ряд получаемый из данного ряда отбрасыванием первых т членов (этот последний ряд называют т -м остатком исходного ряда); наоборот, из сходимости т -го остатка ряда вытекает сходимость данного ряда. 2. Если сходится ряд и суммой его является число , то сходится и ряд причем сумма последнего ряда равна . 3. Если сходится ряд
имеющие соответственно суммы и , то сходится ряд причем сумма последнего ряда равна . 4. Если ряд сходится, то , т.е. при предел общего члена сходящегося ряда равен нулю (необходимый признак сходимости ряда). Таким образом, если , то ряд расходится. Первый признак сравнения. Пусть даны два ряда (1) (2) Причем каждый член ряда (1) не превосходит соответствующего члена ряда (2), т.е. . Тогда если сходится ряд (2), то сходится и ряд (1); если расходится ряд (1), то расходится и ряд (2). Этот признак остается в силе, если неравенства выполняются не при всех п, а лишь начиная с некоторого номера п=N. Второй признак сравнения. Если существует конечный и отличный от нуля предел , то оба ряда и одновременно сходится или одновременно расходится. Признак Коши. Если для ряда существует , то этот ряд сходится при С< 1 и расходится при С> 1. Признак Даламбера. Если для ряда существует , то этот ряд сходится при D< 1 и расходится при D> 1. Интегральный признак. Если при - непрерывная, положительная монотонна убывающая функция, то ряд где , сходится или расходится в зависимости от того, сходится или расходится интеграл . Рассмотрим теперь ряды, члены которых имеют чередующиеся знаки, т.е. ряды вида
, где . Признак Лейбница. Знакочередующийся ряд сходится, если абсолютные величины его членов монотонно убывают, а общий член стремится к нулю, т.е. если выполняются следующие два условия: 1) 2) . Возьмем п -ю частичную сумму сходящегося знакочередующегося ряда, для которого выполняется признак Лейбница: . Пусть -й остаток ряда. Его можно записать как разность между суммой ряда и п -й Частичной суммой , т.е. . Нетрудно видеть, что . Величина оценивается с помощью неравенства . Пример 1. Исследовать сходимость ряда Так как т.е. , то ряд расходится (не выполняется необходимый признак сходимости).
Пример 2. Исследовать сходимость ряда Здесь удобно применить признак Коши, поскольку а предел последней дроби находится просто: Так как , то ряд сходится.
Пример 3. Исследовать сходимость ряда Имеем . Так как , то с помощью признака Даламбера не удается решить вопроса о сходимости ряда. Применим интегральный признак: следовательно, ,
. Интеграл сходится (является конечной величиной), поэтому сходится и данный ряд.
|