В примерах и задачах;

План практических занятий

по курсу «Аналитическая геометрия и линейная алгебра»

Й семестр

Часа, 2 контрольные работы, коллоквиум, экзамен

Уч. год

Учебные пособия:

[1] Н.Г. Абрашина-Жадаева и др. Аналитическая геометрия

в примерах и задачах;

[2] А.А. Бурдун и др. Сборник задач по алгебре и аналитической геометрии;

[3] Л.Л. Березкина. Аналитическая геометрия и линейная алгебра

К первому занятию прочитать §§ 1.1 – 1.2, 1.6.

1. Векторы и линейные операции над ними. А: [1]: 1.1;

[2]: 389: В четырехугольнике точки и – середины диагоналей и соответственно. Найдите разложение вектора по векторам , и .

[1]: 1.8; 1.18 (найти какой-либо вектор, задающий направление биссектрисы внутреннего угла при вершине ); 1.22; 1.41; 1.34; (использовать операцию откладывания вектора от точки), 1.4.

Д: [1]: Контрольные вопросыстр. 7; 1.2; 1.19; 1.20; 1.26.

[2]: 366: – треугольная пирамида. Докажите, что . Верно ли это утверждение для произвольных четырех точек?

[3] Прочитать §§ 1.1 – 1.7, примеры 1.1 – 1.10.

2. Скалярное произведение. А: [1]: 1.46; 1.48 (); 1.53; 1.63; 1.60.

Определить направляющие косинусы ненулевого вектора как косинусы углов, которые этот вектор образует с базисными векторами ;

[1]: 1.57; 1.59; 1.66 (в).

Д: [1]: Контрольные вопросыстр. 18; 1.42; 1.45; 1.50; 1.56; 1.52*; 1.62, 1.58; 1.21* (неверное условие, см. [3] пример 1.16).

[3] Прочитать §§ 1.7 – 1.9, примеры 1.11 – 1.17. Контрольные вопросы №1.

3. Векторное, смешанное и двойное векторное произведения. А: Тест № 1.

[2]: 466: Вычислите площадь параллелограмма, построенного на векторах и , если .

472: Убедитесь, что векторы и , отложенные от одной точки, могут служить ребрами куба, и найдите вектор третьего ребра.

[1]: 1.83; 1.87.

[3] Пример 1.22.Ассоциативно ли векторное произведение, т.е., можно ли утверждать, что для любых векторов справедливо равенство ?

[1]: 1.93 (в).

Д: [1]: Контрольные вопросыстр. 27; 1.68; 1.76; 1.78, 1.85(б), 1.96, 1.32, 1.97.

[3] Прочитать §§ 2.1, 2.4, 2.5; примеры 1.18 – 1.21. 1.23, 1.24. Контрольные вопросы № 2.

4. Прямая на плоскости. А: Тест № 2.

[1]: 2.38 (условие: – не начальная точка); 2.39, 2.15 (а, б, г); 2.42; 2.48.

() Заданы вершины треугольника . Составьте:

а) параметрические уравнения стороны ;

б) канонические уравнения средней линии, параллельной ;

в) общее уравнение высоты, проведенной из вершины ;

г) уравнение медианы, проведенной из вершины , с угловым коэффициентом.

() Заданы две прямые на плоскости своими уравнениями: и . Вывести формулу для вычисления тангенса угла между этими прямыми ().

[2] 590: Составьте уравнение катетов равнобедренного прямоугольного треугольника, зная уравнение его гипотенузы и координаты одной из вершин .

Д (к занятию 6): 2.6; 2.43; 2.58*; 2.62.

[2] 591: Зная уравнения боковых сторон равнобедренного треугольника и , составьте уравнение его третьей стороны, при условии, что она проходит через точку .

[3] Прочитать §§ 2.2, 2.3, 2.5, 2.6; примеры 2.9, 2.12*. Контрольные вопросы № 3.

5. Плоскость и прямая в пространстве. А: Тест № 3.

[2] 627: Каковы особенности расположения плоскости относительно прямоугольной декартовой системы координат, если:

а) , б) ; в) ; г) ;

д) ; е) ?

[1]: 2.74.

[2] 637: Составьте уравнение плоскости проведенной, через точку параллельно плоскости, проходящей через точки , , .

[1]: 2.100; 2.102 (канонические уравнения), 2.103 (в виде пересечения плоскостей), 2.131.

[2] 691: Составьте общее уравнение плоскости, проходящей через параллельные прямые и ;

Д: [1]: 2.75(1); 2.70.

[2] 633: Даны вершины треугольной пирамиды , , , . Составьте общее уравнение плоскости, проходящей через ребро и середину ребра .

[1]: 2.71; 2.101; 2.122, 2.125.

[3] Прочитать §§ 2.6, 2.8, 2.9; примеры 2.3 – 2.8, 2.10, 2.11, 2.12*, 2.13*. Контрольные вопросы №4.

6. Плоскость и прямая в пространстве. А: Тест № 4.

[2] 669: Выясните взаимное расположение плоскости и прямой в зависимости от параметра .

[1]: 2.134 (уравнение прямой , решение в векторном виде); 2.135 (уравнение плоскости , решение в векторном виде); 2.136(1).

Взаимное расположение прямых в пространстве. Условие всех задач: выясните взаимное расположение прямых в пространстве. В случае пересечения найдите точку пересечения.

[2]: 665 (1) и ;

665 (3) и ;

666 (1) и .

() Найдите расстояние от точки до прямой .

[1]: 2.82.

[2]: 650: Напишите уравнения плоскостей, делящих пополам двугранные углы, образованные плоскостями и .

602: Составьте уравнение биссектрисы угла между прямыми (на плоскости) и , смежного с тем, которому принадлежит точка .

Д: Выясните взаимное расположение прямых в пространстве. В случае пересечения найдите точку пересечения: [2]: 664 (1) и ; 667 (2): и .

689: Составьте общее уравнение плоскости, проходящей через пересекающиеся прямые и .

670 Выясните взаимное расположение плоскости и прямой в зависимости от значений параметров и .

[1]: 2.111(3); 2.112(2); 2.128*; 2.140; 2.141, 2.33.

[2]: 652: Напишите уравнения плоскостей, параллельных плоскости и отстоящих от нее на расстояние, равное 7.

601 (1): Составьте уравнение множества точек, каждая из которых равноудалена от двух параллельных прямых (на плоскости) и .

[3] Примеры 2.14, 2.15*, 2.16*, 2.17– 2.23.

7. Контрольная работа №1 по разделам: Элементы векторной алгебры. Прямая и плоскость.

Д: [3] Прочитать §§ 3.1 – 3.8. Контрольные вопросы № 5.

8. Линии второго порядка. А: Тест № 5.

[1] 3.4(2), 3.6(3), 3.9(2), 3.18; 3.21*, 3.32(3), 3.41(2), 3.42, 3.51(3), 3.54(4, 7).

Д: [1] 3.3(3), 3.5(3), 3.13(2), 3.30(4), 3.51(4).

[3] Прочитать §§ 4.1 – 4.8. Примеры 3.1. – 3.6.