Предел функции. Определение через пределы последовательностей. Доказать, что функция Дирихле ни в одной точке не имеет предела.

Функция Дирихле

Функция, принимающая значение 1, если аргумент рационален, и 0, если аргумент иррационален:

D(x) =

была введена немецким математиком П.В. Дирихле как пример функции, свободной от аналитического задания значения.

Свойства:

· Область определения – (-∞; +∞);

· область значения – 0, 1;

· Функция Дирихле не имеет предела ни в одной точке, так как в любой окрестности любой точки вещественной прямой содержатся как рациональные, так и иррациональные числа (а значит, как нули, так и единицы функции).

· Это в свою очередь значит, что функция разрывна на всей числовой прямой (причём все точки разрыва – второго рода), и ее график изобразить невозможно.

Также ни в одной точке вещественной оси для данной функции не существует производной.

Остановимся на некоторых свойствах подробнее.

Функция Дирихле не имеет предела ни в одной точке:

Воспользуемся отрицанием критерия Коши: функция D не имеет предела в точке а, если либо функция не определена в окрестности точки а, либо найдется число ε > 0 и в любой окрестности U(а) найдутся точки x’, x’’ ∈ U(а), x’, x’’ ≠ a такие, что будет выполнено неравенство: |D(x’) – D(x’’)| ≥ ε.

Первое условие не выполнено, т.к. область определения функции Дирихле – вся числовая прямая.

Так как в любой окрестности любой точки а находятся как рациональные, так и иррациональные числа, то положим x’ ∈ ℚ, x’’ ∉ ℚ. Тогда D(x’) =1, D(x’’) = 0. Возьмем ε – любое число, принадлежащее полуотрезку (0, 1], получим:

|D(x’) – D(x’’)| = 1 ≥ ε.

Так как точка a – произвольна, то ни в одной точке числовой прямой не существует предела для функции Дирихле.

Функция Дирихле D (x), значения которой в рациональных точках равны единице, а в иррациональных точках — нулю, не имеет предела ни в одной точке a бесконечной прямой. Это вытекает из того, что для сходящейся к a последовательности рациональных значений аргумента предел последовательности соответствующих значений функции равен единице, в то время как для сходящейся к a последовательности иррациональных значений аргумента предел последовательности соответствующих значений функции равен нулю.