Студопедия

Главная страница Случайная страница

КАТЕГОРИИ:

АвтомобилиАстрономияБиологияГеографияДом и садДругие языкиДругоеИнформатикаИсторияКультураЛитератураЛогикаМатематикаМедицинаМеталлургияМеханикаОбразованиеОхрана трудаПедагогикаПолитикаПравоПсихологияРелигияРиторикаСоциологияСпортСтроительствоТехнологияТуризмФизикаФилософияФинансыХимияЧерчениеЭкологияЭкономикаЭлектроника






Теоретичне обґрунтування






Визначення сплайн-функції. Застосування моделей у вигляді сплайн-функцій доречне тоді, коли процес змін передбачає структурні зміни у різних областях вхідних змінних. Важливим моментом, який істотно впливає на спосіб побудови моделі, є тип переходу від одногорежиму до іншого. Виділяють дві ситуації:

1. Модельований процес неперервний і перехід з режиму на режим відбувається без різких коливань.

2. Природа екологічного процесу є такою, що переходи від режиму до режиму є стрибкоподібними.

Сплайн-функції передбачають плавний перехід.

Використання моделей процесів стану навколишнього середовища у вигляді сплайн-функцій доцільне в ситуаціях, коли зміна одного показника, зумовлена зміною іншого, і ця залежність не має різких коливань і розривів у розвитку.

Для розв’язання нашої задачі нам знадобиться параболічний сплайн.

Визначення. Мережею називається множина точок осі абсцис ∆ = (К0, К1, …, Кl), кожна з (l + 1)≥ 3 точок Кі, j є [0; 1], називається вузлом.

У0, у1, …, уl – набір відповідних значень ординат.

Отож, параболічним сплайном над ∆, що інтерполює набір у, називається функція f(К), яка відповідає таким вимогам:

1) f(К) та її перша похідна неперервна на [К0, Кl];

2) f(К) на інтервалі [Кj-1, Кj], j є [1; l] збігається із деяким многочленом, що є не більшим другого ступеню;

3) f(К) = уj, j є [0; l].

 

Схематичний графічний вигляд сплайн-функції “відносна врожайність – коефіцієнт вологозабезпеченості”

у/уmax             В
        С          
1, 0                  
                   
                   
                 
0, 5 М l              
                   
                   
                   
0       D1     D2   D3
        0, 5       1, 0 К

1 – лінійна залежність

2 – обвідна крива

Метод послідовної сплайн-апроксимації. Відповідно до визначення, подамо даний метод для намальованого схематичного графіку.

Як із нього видно, основні вимоги є такими:

1) ∆ = (К0, К1, К2, К3).

2) f3(К) в області D3 - лінійна та сполучає точки В та А;

3) на відрізку D2, коли К є D2, f2(К) – квадратична, що плавно у точці В переходить у лінійну f3(К);

4) f1(К) у точці С плавно переходить у f2(К);

5) точку М можна знаходити з умови, що f1(К) оптимально апроксимує дані спостереження – точки Кі в області D1 (за методом найменших квадратів).

Виходячи з вимог до функції f(К), легко побачити, що в області D3 f3(К)=1 при К є [К2, К3]; в області D2 невідомі коефіцієнти функції f2(К) знаходимо із умов:

а0 + а1 К1 + а2 К12 = у/уmax | К1 = С

а0 + а1 К2 + а2 К22 = 1 (формула 1)

а0 + 2 а2 К2 = 0

Знайдену у такий спосіб функцію f2(К) можна поширити на область D1 (на основі ідентифікації виразу для f1(К)). Даний вираз можна знайти із умови сполучення у точці К=Кl, тобто неперервності сплайн-функції та її першої похідної:

f2(К)=f1(К), при К=К1;

(формула 2)

f 2(К)=f 1(К), при К=К1,

а також із системи умовних рівнянь Гаусса:

b0 + bl Кi + b2 Кi2 = (у/уmax) Kі є Dl. (формула 3)

На основі рівнянь формули 2 визначаються невідомі параметри b0, bl як функції третього коефіцієнта b2 і підставляються у систему формули 3. Із цієї системи рівнянь коефіцієнт b2 знаходиться за методом найменших квадратів або за методом середніх.

Запропонований підхід до ідентифікації сплайн-функції можна узагальнити послідовною добудовою сплайна у областях D2, D3 із використанням умовних рівнянь. У деяких випадках, після нанесення на графік точок (у/уmax, К)і, значення абсцис і ординат мережі ∆ можна встановлювати за графіком, а сплайн-функцію визначати за допомогою теорії інтерполяції.

 

 


Поделиться с друзьями:

mylektsii.su - Мои Лекции - 2015-2024 год. (0.008 сек.)Все материалы представленные на сайте исключительно с целью ознакомления читателями и не преследуют коммерческих целей или нарушение авторских прав Пожаловаться на материал