![]() Главная страница Случайная страница КАТЕГОРИИ: АвтомобилиАстрономияБиологияГеографияДом и садДругие языкиДругоеИнформатикаИсторияКультураЛитератураЛогикаМатематикаМедицинаМеталлургияМеханикаОбразованиеОхрана трудаПедагогикаПолитикаПравоПсихологияРелигияРиторикаСоциологияСпортСтроительствоТехнологияТуризмФизикаФилософияФинансыХимияЧерчениеЭкологияЭкономикаЭлектроника |
Допредельная модель диффузионного процесса
Рассмотрим реальные процессы, которые достаточно хорошо описываются диффузионными случайными процессами. Представим себе частицу, совершающую скачкообразные движения по оси X. За время D t частица совершает скачок на величину ±d с вероятностью 1/2, при этом скачки выполняются независимо друг от друга. Через x(T) обозначим координату частицы в момент времени T, через D xk – величину скачка частицы в k -й момент времени. Здесь D xk =±d с вероятностью 1/2. Очевидно, что
Найдём среднее значение и дисперсию положения частицы в момент времени T
В пределе, при D t ®0, d®0, возможны три варианта. а) Если d2=o(Dt), то D{x(T)}®0, а так как M{x(T)}=0, то частица не меняет своего положения, оставаясь в начальной точке. Этот случай не представляет интереса. б) Если D t = o (d2), то D {x(T)}®¥, следовательно, положение частицы в конечный момент времени T имеет бесконечный разброс, что для реальных процессов невозможно, поэтому такой вариант рассматривать не будем. в) Если d2= O (D t), то есть эти величины одного порядка малости, например d2= B D t, где B > 0 – некоторая постоянная, тогда D {x(T)}= B. Этот вариант рассмотрим более подробно. Рассмотрим приращения
для которых можно записать
Тогда в силу центральной предельной теоремы можно записать
и все приращения по предположению независимы. Следовательно, рассматриваемое случайное блуждание в пределе даёт винеровский процесс. Остановимся на особенностях траекторий винеровского процесса. Так как при D t ®0, величина скачка d®0,, то реализации винеровского процесса непрерывны. С другой стороны, отношение
то есть производная не существует, поэтому говорят, что реализации винеровского процесса недифференцируемы. Таким образом, случайное блуждание частица, при достаточно малой величине скачка, можно описать винеровским процессом, то есть диффузионным процессом с коэффициентами переноса, равным нулю, и коэффициентом диффузии, равным некоторой положительной постоянной. Более общий вариант диффузионного процесса можно получить в пределе, если пролагать, что положительный скачок происходит с вероятностью ½ +a, а отрицательный – с вероятностью ½ –a. Тогда
Так как
Полагая, что
При этом
Нетрудно показать, что при D t ®0 в пределе несимметричное блуждание переходит в диффузионный процесс с коэффициентом переноса – A, и коэффициентом диффузии – B.
|