Главная страница Случайная страница КАТЕГОРИИ: АвтомобилиАстрономияБиологияГеографияДом и садДругие языкиДругоеИнформатикаИсторияКультураЛитератураЛогикаМатематикаМедицинаМеталлургияМеханикаОбразованиеОхрана трудаПедагогикаПолитикаПравоПсихологияРелигияРиторикаСоциологияСпортСтроительствоТехнологияТуризмФизикаФилософияФинансыХимияЧерчениеЭкологияЭкономикаЭлектроника |
Задача композиции
Очень часто встречается функциональная зависимость вида , т.е. возникает задача определения закона распределения суммы компонент случайного вектора по известному закону совместного распределения его компонент X и Y. Покажем, как эта задача решается в двух случаях, когда компоненты X и Y: 1) СВДТ; 2) СВНТ. 1. Пусть X и Y – СВДТ с известным законом совместного распределения , где – множество возможных значений компоненты X, – множество возможных значений компоненты Y. Тогда закон распределения записывается в виде , где суммирование распространяется на все значения индексов i и j, для которых выполняется условие . Затем, построив ряд распределения случайной величины Z (исключая все те значения , вероятность которых равна нулю), можно составить функцию распределения . Пример 2.3.11. Закон распределения случайного вектора задан таблицей:
Составив закон распределения случайной величины , найти функцию распределения и вычислить , . Решение. Найдем вначале значения функции : , , , , , . Значит, случайная величина Z имеет пять возможных значений: , , , , . Вероятность возможного значения равна сумме вероятностей несовместных событий и , т.е. . Исключим значения и , поскольку вероятности их равны нулю. Поэтому ряд распределения случайной величины Z имеет вид:
Тогда найдем функцию распределения : Вычислим теперь и : , . Ответ: , . 2. Пусть X и Y – СВНТ с известной плотностью совместного распределения компонент , тогда . Особо важным для практики представляется частный случай, когда X и Y – независимые случайные величины, а . Получается так называемая задача композиции. 1. Пусть X и Y – независимые СВДТ, тогда или . Пример 2.3.12. Рассматривается случайная величина Z – суммарное число «успехов» в двух независимых опытах с одной и той же вероятностью «успеха» p в каждом опыте. Найти закон распределения случайной величины Z и составить ее функцию распределения. Решение. Пусть X – количество успехов в первом опыте, а Y – количество успехов во втором опыте. По условию задачи X и Y независимы. Тогда . Получается задача композиции. Поскольку случайные величины X и Y принимают только два значения 0 или 1, то случайная величина может принимать четыре значения , , , с вероятностями , qp, pq, соответственно. Тогда ряд распределения примет вид
Составим теперь функцию распределения случайной величины : Ответ: 2. Пусть X и Y – независимые СВНТ, и – их плотности. Плотность совместного распределения равна . Функция распределения суммы равна . Этот интеграл можно вычислять как повторный: Дифференцируя по z, получаем: . Две последние формулы носят название формул свертки. С помощью этих формул можно выразить функцию распределения и плотность суммы независимых случайных величин через плотности и функции распределения слагаемых. Отметим, что в силу симметрии переменных x и y формулы свертки можно записать следующим образом: , .
Пример 2.3.13. Пусть случайные величины X и Y – независимы, – функция распределения Х, а Y имеет плотность Составить функцию распределения и функцию плотности суммы . Решение. Применяя формулу свертки, имеем , т.к. производная интеграла по переменной z равна значению подынтегральной функции от верхнего предела, умноженного на производную по z от верхнего предела, минус значение подынтегральной функции от нижнего предела, умноженного на производную по z от нижнего предела. Отсюда следует существование плотности . Ответ: , .
Пример 2.3.14. Случайные величины X и Y независимы и равномерно распределены на отрезке : , . Найти плотность вероятности случайной величины . Решение. 1 способ. По условию возможные значения X определяются неравенством , возможные значения Y – неравенством . Отсюда следует, что возможные случайные точки расположены в квадрате ABCD.
а б Рис. 2.3.2. По определению функции распределения . Неравенству удовлетворяют те точки плоскости xOy, которые лежат ниже прямой (эта прямая отсекает на осях Ox и Oy отрезки, равные z). Если же брать только возможные значения x и y, то неравенство выполняется только для точек, лежащих в квадрате ABCD ниже прямой . С другой стороны, т.к. случайные величины X и Y независимы, то , где область G – часть квадрата ABCD, которая расположена ниже прямой , а – площадь G. Очевидно, что величина площади зависит от значения z. Если , то , поэтому . Если (рис. 2.3.2 а), то , поэтому . Если (рис. 2.3.2 б), то , поэтому . Если , , поэтому . Найдем теперь плотность распределения , продифференцировав по z: График функции плотности так называемого треугольного распределения, или распределения Симпсона, показан на рис. 2.3.3. Рис. 2.3.3. 2 способ. Учтем, что в данном случае подынтегральное выражение в формуле свертки отлично от нуля лишь в случае, когда принадлежит отрезку , а именно: , если ; , если . Рассматривая два случая взаимного расположения отрезков, на которых плотности одновременно отличны от нуля (рис. 2.3.4), получим: , если ; , если . Рис. 2.3.4. Ответ: Определение. Закон распределения W определенного вида называется композиционно устойчивым, если из того, что две независимые случайные величины X и Y подчиняются закону распределения данного типа, следует, что их сумма подчиняется закону распределения W того же вида (различаются только параметры этого закона). Рассмотрим примеры композиционно устойчивых распределений.
Пример 2.3.15. Найти закон распределения суммы двух независимых случайных величин X и Y, распределенных по закону Пуассона: , . Решение. Найдем вероятность события , где : . Следовательно, случайная величина распределена по закону Пуассона с параметром . Значит, распределение Пуассона композиционно устойчиво. Ответ: .
Пример 2.3.16. Найти закон распределения суммы двух независимых случайных величин X и Y, распределенных по биномиальному закону: , . Решение. Представим случайную величину X в виде: , где () – индикатор события A в i -м опыте: Ряд распределения случайной величины имеет вид:
Аналогичное представление сделаем и для случайной величины Y: , где () – индикатор события A в j -м опыте: Ряд распределения случайной величины имеет вид:
Следовательно, , где каждое из слагаемых является индикаторной случайной величиной распределенной по одному и тому же закону:
Всего слагаемых – . Отсюда следует, что случайная величина распределена по биномиальному закону с параметрами ; p. Значит, биномиальное распределение композиционно устойчиво. Ответ: . Замечание 1. Если вероятности p в различных сериях опытов (первая серия опытов описывается случайной величиной X, а вторая серия – случайной величиной Y) будут различны, то в результате сложения двух независимых случайных величин X и Y, распределенных по биномиальным законам, получится случайная величина Z, распределенная не по биномиальному закону. Замечание 2. Примеры 2.3.15 и 2.3.16 легко обобщаются на произвольное число слагаемых (Проделайте выкладки самостоятельно!).
Пример 2.3.17. Случайные величины X и Y независимы и нормально распределены: , . Найти плотность вероятности случайной величины . Решение. Пользуясь формулой свертки , получим: . Из курса интегрального исчисления известно, что . В данном случае , , . Таким образом, из структуры плотности следует, что случайная величина имеет нормальное распределение , где , . Значит, нормальное распределение композиционно устойчиво. Ответ: , где , .
|