Главная страница Случайная страница
КАТЕГОРИИ:
АвтомобилиАстрономияБиологияГеографияДом и садДругие языкиДругоеИнформатикаИсторияКультураЛитератураЛогикаМатематикаМедицинаМеталлургияМеханикаОбразованиеОхрана трудаПедагогикаПолитикаПравоПсихологияРелигияРиторикаСоциологияСпортСтроительствоТехнологияТуризмФизикаФилософияФинансыХимияЧерчениеЭкологияЭкономикаЭлектроника
С в о й с т в а арифметических операций
|
|
I. Свойства равенств.
• а - а (рефлексивность равенства);
• Если а ~ Ь, то Ь ~ а (симметричность равенства);
• Если а = Ь и Ь ~ с, то а = с (транзитивность равенства);
• Если а< ЬиЬ< с, то а< с (транзитивность отношения " меньше"). Краткая запись этого свойства: а< ЪлЬ< с-> а< с.
• Основные теоремы и законы сложения.
Теорема 1.1. Для любой пары чисел а и Ъ существует только одно третье число, которое является суммой чисел а и Ь и записывается а + Ь; числа а и Ъ называются слагаемыми.
Для сложения выполняются следующие равенства:
• а + Ь = Ь + а (коммутативность сложения);
• (а+Ь)+с — а + (Ь + с) (ассоциативность сложения);
• Из а < Ъ следует а +с < Ь + с (монотонность сложения) или кратко: а < Ь + с< Ь + с.
Приме р 1.2. Из того, что 4 < 5 следует', что 4+3< 5+3, то есть 7 < 8.
• Основные положения вычитания.
Теорема 1.2. Для любой пары чисел а и Ь (Ь> а) существует единственное решение х уравнения а+х-Ь, Число х называют разностью и пишут х~Ь-а. Число Ь называется уменьшаемым, а — вычитаемым.
Условие Ъ > а является необходимым и достаточным для существования разности натуральных чисел.
• Основные теоремы и законы умножения. '
Теорема 1. 3. Для любой пары чисел а и Ъ существует ТОЧНО ОДЖ третье число, которое называют произведением чисел а й Ь и обоЭНКЧ! ют а-Ь (или аЬУ, Числа а, Ъ называются множителями. Для у МНОЖИМ выполняются следующие равенства: и- 1'
• а-Ъ = Ь-а (коммутативность умпожбйи!)
• (а ■ Ь) - с - а-(Ь ■ с) (ассоциативность умножения)
• {а + Ь) ■ с - а • с + Ъ ■ с (дистрибутивность умножения)
• Из а < & и с > 0 следует а-с< Ь-с^ (монотонность умножения^ или кратко:...
I
а< Ьлс> 0~^а-с< Ь-с.,
Следует отметить, что в положении 3 операции сложения и умноЖИДО не симметричны друг относительно друга. Если поменять местами операции, то получим ложное высказывание, которое будет иметь В1ЭД1
а-Ь + с* (а + с)-(Ъ + с).
Теорема 1.4. Существует точно одно натуральное число 1, К0Т01 рое не меняет результат умножения, то есть (\/а)а • \~а.
• Основные положения деления.
Теорема 1.5. Для пары чисел а и Ь, где а ф 0 и Ь ^а, уравнение
а - х = Ь имеет- решение. Число х называют частным чисел Ь И а И Щ*
шут: х = — или х = Ь: а; число Ъ называют делимым, а — делиДЩЩ а
Условие Ь > а является необходимым, но недостаточным для ОртЦ» ствования частного натуральных чисел.
' • I
1.2.2. С в о и с т в а множества натуральных ЧИС.Я^
Определение 1.5. Натуральное число а меньше натурального числа Ъ(а< Ь) тогда и только тогда, когда существует натурШНи ное число к такое, что а + к-Ъ:
{а < Ь) ^ (З^еЛО [а +к = Ь]. 1
Если а < Ь, то можно сказать, что Ь > а. Можно добавить
а< Ъ < -+а < Ъ; а > Ь Vа ^Ъ. /
Теорема 1.6. (Уа^) а< а'. Действительно, т. к. а + 1, тоа < а '.
Следствия:
1.1< 1', т е.1< 2, 2 < 2 ', т е. 2 < 3 и т. д. Получаем ряд: 1 < 2< 3< 4<....
• 1 — наименьшее натуральное число.
• Во множестве N нет наибольшего числа.
Теорема 1.7^ (связность). Для любых натуральных чисел а и Ь либо а < Ь, либо а - Ь, либо а > Ь.