![]() Главная страница Случайная страница КАТЕГОРИИ: АвтомобилиАстрономияБиологияГеографияДом и садДругие языкиДругоеИнформатикаИсторияКультураЛитератураЛогикаМатематикаМедицинаМеталлургияМеханикаОбразованиеОхрана трудаПедагогикаПолитикаПравоПсихологияРелигияРиторикаСоциологияСпортСтроительствоТехнологияТуризмФизикаФилософияФинансыХимияЧерчениеЭкологияЭкономикаЭлектроника |
А:в] – полуоткрытые интервалыСтр 1 из 4Следующая ⇒
R- множество действительных чисел. Оно состоит из рациональных и ироциональных чисел. Рациональные числа можно выразить в виде конечной или бесконечной периодической десятичной дроби. ¼ = 0, 25 1/3=0, 333 Числа, не являющиеся рациональными называются- ироциональными. Их представляют в виде бесконечно не периодической десятичной дроби. Введение множества комплекстных чисел связано с тем, что в множестве действительных чисел не выполняется извлечение корня четной степени из отрицательного числа. Комплекстным числом z – называют упорядоченную пару чисел x: y Алгебраическая формула комплекстного числа z=x+iy. Где x- действительная часть, а y- мнимая часть, i- мнимая единица. Если x=0, то z=iy – число мнимое, если y=0, то z=x- действительное число. Вопрос 2 «Числовые промежутки. Окрестность (.) А, в действительные числа а< в. Числовыми промежутками (интервалами) называют подмножества всех действительных чисел имеющие следующий вид. [a: в]={x: а< x< в}- отрезок (а: в)={x: а< x< в}-интервал А: в) –полуоткрытые интервалы а: в] – полуоткрытые интервалы (-бесконечность: в)= {x: x< в} – бесконечные интервалы а, в называются левым и правым концами промежутка. Пусть Х0 любое действительное число в (.) на числовой прямой. Окрестностью (.) называют любой интервал (а: в) содержащий эту точку в частности интервал (Х0-Е: Х0+Е) Е> 0 – эпсилан окрестностью (.) Х0 число Х0- называют центром, эпсилан – называют радиусом. 21. Уравнение касательной и нормали У-уо= -1: -f '(хо)* (х-хо) уравнения норм. проходящей через точку Мо
Задача о скорости движущейся точки.
Это уравнение выражает путь s, пройденный точкой, как функцию времени t. Обозначим через Δ s путь, пройденный за промежуток времени Δ t от момента t до t + Δ t, т. е. Чем меньше Δ t, т. е. чем короче промежуток времени от t до t + Δ t, тем лучше средняя скорость характеризует движение точки в момент времени t. Поэтому естественно ввести понятие скорости v в данный момент t, определив ее как предел средней скорости за промежуток от t до t + Δ t, когда Δ t→ 0: Величина v называется мгновенной скоростью точки в данный момент t. Задача о касательной к данной кривой. Пусть на плоскости хОу дана кривая уравнением у = f (х). Требуется провести касательную к данной кривой в данной точке
12. Первый и второй замечательные пределы При вычислении переделов выражений содержащих тригонометрические функции часто используют предел Рассмотрим предел Эти 2 равенства называются вторым замечательным пределом. 11. Признаки существования пределов Не всякая ограниченная функция имеет предел. Например: y=sin x; x→ ∞ не имеет предела. Для выяснения вопроса о существовании предела использование определения предела не всегда удобно. Проще это сделать с помощью признаков существования пределов. 1) о пределе промежуточной функции Если функция f(x) заключена между функциями φ (x) и g(x) стремящимися к одному и тому же пределу, то она стремится к этому же пределу. 2) о пределе монотонной функции Если функция f(x) монотонна и ограничена при x<
30. (Правило Лопиталя). Пусть функции 1) эти функции дифференцируемы в окрестности точки 2) 3) 4) Тогда существует и 31. ФОРМУЛА ТЕЙЛОРА В определении функции у=ƒ (х) не говорится о том, при помощи каких средств находятся значения у по значениям х. В тех случаях, когда функция является формулой вида у=х3/5-5х+7, значения функции найти легко с помощью четырех арифметических действий. Но как найти значения, например, функций у=sinx, у=ln(1+х) при любых (допустимых) значениях аргумента? Для того, чтобы вычислить значения данной функции у=ƒ (х), ее заменяют многочленом Рn(х) степени n, значения которого всегда и легко вычисляемы. Обоснование возможности представлять функцию многочленом дает формула Тейлора. 24. Неявно заданная функция Если функция задана уравнением у=ƒ (х), разрешенным относительно у, то функция задана в явном виде (явная функция). Под неявным заданием функции понимают задание функции в виде уравнения F(x; y)=0, не разрешенного относительно у. Всякую явно заданную функцию у=ƒ (х) можно записать как неявно заданную уравнением ƒ (х)-у=0, но не наоборот. Не всегда легко, а иногда и невозможно разрешить уравнение относительно у (например, у+2х+cosy-1=0 или 2у-х+у=0). Если неявная функция задана уравнением F(x; у)=0, то для нахождения производной от у по х нет необходимости разрешать уравнение относительно у: достаточно продифференцировать это уравнение по x, рассматривая при этом у как функцию х, и полученное затем уравнение разрешить относительно у'. Производная неявной функции выражается через аргумент х и функцию у. 45. Функции нескольких переменных: основные понятия, предел и непрерывность Опр. Если каждой паре значений переменных хи у из множества Д по закону f соответствует одно значение переменной z из множества Е, то переменная z назыв. Функцией от 2-х переменных ху. Z=f(x: y) Д-область определения ф-ии и представляет из себя множество точек плоскости. Е-область значений ф-ии и явл числовым промежутком Опр. Окрестностью точки Мо(хо; уо) назыв. круг с центром в этой точке причем радиус круга назыв. Радиусом окрестности. Опр. Точка назыв. Внутренней точкой области, если найдется такая окрестность этой точки, которая лежит в этой области. Опр.: точка назыв граничной точкой области если в любой её окрестности есть точки принадлежащие не принадлежащие этой области. Опр: Область назыв замкнутой, если она состоит из внутренних и граничных точек. Опр: область назв. Открытой, если граница не принадлежит этой области. Опр: Графиком ф-ии 2-х переменных явл. Поверхность в пространстве уравнением которой будут уравнения этой фун-ии.
Опр: число в называется пределом функции двух переменных при М→
44. Несобственные интегралы: интеграл по бесконечному промежутку, интеграл от неограниченной функции. Признаки сходимости несобственных интегралов Ин интегралы с бесконечными пределами интегрирования или от разрывных функций называют несобственными. 1) несобственные интегралы с бесконечными пределами интегрирования Определяются по средствам предельного перехода
2) несобственные интегралы от функции с бесконечными разрывами Также определяется по средствам предельного перехода. Если функция y=f(x) имеет бесконечный разрыв в точке c [x=c ∈ [a, b]) и непрерывна во всех других точках этого отрезка, то
Несобственные интегралы называют сходящимися или расходящимися в зависимости от того существует или нет определение их пределы соответствующих определённых интегралов. Признаки сходимости несобственных интегралов В некоторых случаях нет необходимости вычислять несобственный интеграл, а достаточно лишь знать, сходится он или расходится. В таких случаях часто бывает полезным сравнить данный несобственный интеграл с другим несобственным интегралом, сходимость или расходимость которого известна. Приведём без доказательства теоремы, устанавливающие признаки сходимости или расходимости, основанные на сравнении несобственных интегралов. Теорема 1: Пусть в интервале [a, + а) если интеграл б) если интеграл Теорема 2: Пусть функции f(x) и а) если интеграл б) если интеграл 3-4. Если задана функция
· Функции нескольких аргументов · · · График функции двух переменных: · Определение функции легко обобщить на случай функции многих аргументов. · Если множество · · В этом случае · Способы задания функции · Аналитический способ[ · Функция как математический объект представляет собой бинарное отношение, удовлетворяющее определенным условиям. Функцию можно задать непосредственно как множество упорядоченных пар, например: · Для задания функции пользуются выражением: · Пусть имеется множество · Аналогично можно задавать числовые функции. Например: · Однако, во многих разделах математики, можно обозначать через f(x) как саму функцию, так и аналитическое выражение, ее задающее. Это синтаксическое соглашение является крайне удобным и оправданным. · Графический способов · Числовые функции можно также задавать с помощью графика. Пусть · Рассмотрим некоторое (n+1)-мерное линейное пространство над полем вещественных чисел (так как функция вещественная). Выберем в этом пространстве любой базис ( · Если в качестве линейного пространства взять евклидово пространство свободных геометрических векторов (направленных отрезков), а число аргументов функции f не превосходит 2, указанное множество точек можно изобразить наглядно в виде чертежа (графика). Если сверх того исходный базис взять ортонормированным, получим «школьное» определение графика функции. · Для функций 3 аргументов и более такое представление не применимо ввиду отсутствия у человека геометрической интуиции многомерных пространств. · Однако, и для таких функций можно придумать наглядное полугеометрическое представление (например каждому значению четвертой координаты точки сопоставить некоторый цвет на графике). Числовая последовательность — это последовательность элементов числового пространства. Пусть — это либо множество вещественных чисел, либо множество комплексных чисел. Тогда последовательность элементов множества называется числовой последовательностью Суммой числовых последовательностей Разностью числовых последовательностей Произведением числовых последовательностей Частным числовой последовательности Предел последовательности — это объект, к которому члены последовательности приближаются с ростом номера. Так в произвольном топологическом пространстве пределом последовательности называется элемент, в любой окрестности которого лежат все члены последовательности, начиная с некоторого. В частности для числовых последовательностей предел — это число, в любой окрестности которого лежат все члены последовательности начиная с некоторого. Частичный предел последовательности — это предел одной из её подпоследовательностей. У сходящихся числовых последовательностей он всегда совпадает с обычным пределом. Верхний предел последовательности — это наибольшая предельная точка этой последовательности. Нижний предел последовательности — это наименьшая предельная точка этой последовательности. Свойства ограниченных последовательностей[править | править исходный текст]
|