Лекция 8. Решение нелинейных уравнений.

Во многих научных и инженерных задачах возникает необходимость решения уравнений вида

= 0 (8.1)

где f - заданная функция; х - неизвестная величина; р₁, р₂,..., р_n - параметры задачи.

Как правило, исследователя интересует поведение решений в зависимости от параметров р_k. При каждом фиксированном наборе параметров р_k уравнение (8.1) может иметь либо конечное, либо бесконечное количество решений х, что соответствует определенному физическому смыслу конкретной задачи.

Так, например, в электродинамике при математическом моделировании электромагнитных волновых колебательных процессов в линиях передачи и резонаторах получают так называемое дисперсионное уравнение вида (8.1).

В этом случае параметрами р_k являются частота колебаний, геометрические параметры системы и включений, пространственное распределение диэлектрической и магнитной проницаемостей в электродинамической структуре и т.д. В качестве неизвестного х могут быть выбраны коэффициенты распространения и затухания электромагнитных волн в линиях передачи либо собственные частоты и добротности колебательных систем. Бесконечное множество решений дисперсионного уравнения будет соответствовать бесконечному числу потенциально возможных собственных типов волн (колебаний) в исследуемой системе.

Решениями или корнями уравнения (8.1) называются такие значения х, которые при подстановке в уравнение обращают его в тождество.

Только для простейших уравнений удается найти решение в аналитическом виде, т.е. записать формулу, выражающую искомую величину х, в явном виде через параметры р_k. В большинстве же случаев приходится решать уравнения вида (8.1) численными методами. Хотя иногда, даже при наличии аналитического решения, имеющего сложный вид, бывает проще провести численное решение по известному алгоритму, чем программировать громоздкую аналитическую формулу.