Необходимый признак сходимости числового ряда.

Теорема: Пусть числовой ряд

сходится, а S - его сумма. Тогда при неограниченном возрастании числа n членов ряда его общий член u_n стремится к нулю
Доказательство. Из условия теоремы имеем

Так как

S_n - S_n-1 = u_n

то

Следует отметить, что этот признак является лишь необходимым, но не достаточным признаком сходимости ряда, так как можно указать ряд, для которого выполняется равенство

,

а он, однако не является сходящимся.
Так гармонический ряд

,

для которого

,

расходится.
Но согласно доказанному необходимому признаку сходимости ряда, если

,

то ряд (1) расходится.
В самом деле, если бы он сходился, то

равнялся бы нулю.
Таким образом, доказанная нами теорема иногда позволяет, не вычисляя суммы S_n, сделать заключение о расходимости того или иного ряда. Например, ряд

,

расходится, так как

,

43. Признаки сходимости ряда, 1 и 2 признаки сравнения, интегральный признак Коши.

Первый признак сравнения. Пусть даны два ряда с положительными членами и и каждый член ряда не превосходит соответствующего члена ряда, т.е. выполняется (n = 1, 2, 3, …). Тогда, если сходится ряд , то сходится и ряд . Если ряд расходится, то ряд также расходится.

Этот признак остается в силе, если условие выполняется не для всех n, а лишь начиная с некоторого номера n = N.

Второй признак сравнения. Если существует конечный отличный от нуля предел , то оба ряда с положительными членами и одновременно сходятся или одновременно расходятся.

При использовании этих признаков исследуемый ряд часто сравнивается

или с бесконечной геометрической прогрессией (q> 0) , которая при q < 1 сходится и имеет сумму S = a / (1- q), а при q≥ 1 расходится,

или с расходящимся гармоническим рядом