Метод бисекций

Пусть задана непрерывная функция , и требуется найти корни уравнения .

Первым этапом решения является локализация корней, которая заключается в определении отрезка [ а, b ], на котором функция принимает значения разных знаков, т.е. . Тогда по теореме Больцано-Коши внутри отрезка существует такая точка c, что . Определение числа корней функции и выделение содержащих их отрезков осуществляется с помощью исследования графика функции.

Пусть отрезок [ a, b ] определен. Итерационный метод бисекций состоит в построении вложенных последовательности отрезков , на концах которых функция принимает значения разных знаков. Каждый последующий отрезок получают делением пополам предыдущего. Процесс построения последовательности отрезков позволяет найти корень функции с любой заданной точностью.

Опишем один шаг итераций. Пусть на (п -1)-м шаге найден отрезок такой, что . Разделим его пополам точкой и вычислим значение . Если , то c – корень уравнения. Если , то из двух половин отрезка выберем ту, на концах которой функция принимает разные знаки, т.к. корень находится в этой половине:

, если ,

, если .

Если точность нахождения корня e задана, то итерационный процесс продолжается до тех пор, пока длина отрезка станет не меньше 2e. Тогда координата середины отрезка и есть значение корня с требуемой точностью.

Метод бисекций – надежный способ отыскания простых корней функции. Он сходится для любых непрерывных, в том числе и недифференцируемых функций, однако скорость сходимости невелика. Для достижения заданной точности e необходимо совершить N итераций, где

.

Метод неприменим для отыскания кратных корней четного порядка. В случае отыскания корней нечетной кратности он менее точен.