Відповіді до системи запитань.

1. З теореми Вейєрштраса: Якщо функція f(х)- неперервна на замкнутій обмеженій множині простору R_n неперервна, то вона в ній досягає свого найбільшого і найменшого значення.

2. Точка х⁽⁰⁾ = (х₁^(0), , x₂⁽⁰⁾,..., х_n⁽⁰⁾) D R_п є точкою строгого максимуму функції f(х), якщо існує окіл (х⁽⁰⁾) точки х⁽⁰⁾, що виконується нерівність

f(х) < f(х⁽⁰⁾) для всіх точок х (х⁽⁰⁾) , x х⁽⁰⁾.

3. Точка строгого максимуму функції f(х) характеризується тим, що

f= f(х) - f(х⁽⁰⁾) < 0 для всіх х (х⁽⁰⁾) , x х⁽⁰⁾.

4. Якщо функція f(х), х = (х₁ х₂,..., x_n), визначена в околі точки х⁽⁰⁾=

(х₁^(0), , x₂⁽⁰⁾,..., х_n⁽⁰⁾), яка є точкою екстремуму функції f(х) і в цій

точці існують похідні , то вони рівні нулю:

.Або: якщо функція f(х) диференційовна в

точці екстремуму х, то її диференціал дорівнює нулю в цій точці: df(х⁽⁰⁾) = 0. Якщо розширити клас функцій, в якому шукається екстремум, включивши функції не диференційовані в окремих точках, то необхідна умова екстремуму матиме вигляд: Якщо х⁽⁰⁾ є точка екстремуму функції f(х₁ х₂,..., x_n), то в цій точці кожна

частинна похіднa або дорівнює нулю, або не існує.

5. Ні. Приклад z = х² – у². В т. (0, 0) df(0, 0) = 0, але в цій точці екстремуму немає.

6. Якщо функція f(х) визначена і має неперервні похідні другого

порядку в околі точки х⁽⁰⁾ = (х₁^(0), , x₂⁽⁰⁾,..., х_n⁽⁰⁾), яка є стаціонарною

точкою. Якщо квадратична форма

(другий диференціал

функції f в точці х⁽⁰⁾), є додатньо визначеною (від'ємно визначеною) квадратичною формою, то точка х⁽⁰⁾ є точкою строгого мінімуму (строгого максимуму); якщо квадратична форма є невизначеною, то в точці х⁽⁰⁾ екстремуму немає.

7. Квадратична форма ,

називається додатньо визначеною (від'ємно визначеною), якщо А > 0 (А < 0) для будь - якої точки x=(х₁ х₂,..., x_n), і при х = 0 перетворюється в нуль.

8. Критерій Сільвестра.

9. (J - функціонал) х Е X метричний простір у R

(у =J(х)). Приклади функціоналів: 1) f(х)dx; 2) F(х, у, у')dx;

3) J[y(х)] = у'(х₀), х₀ [а, b], у(х) ',

10. J[y(х)] = .

11. Нехай функціонал J[у(х)] визначений на множині М функцій у(х). Приростом J функціонала J, що відповідає приросту δ у(х) аргумента є величина J[y(х)] = J[у(х) + δ у(х)] - J[у(х)]. (δ у(х) = (х)- у(х), де у(х) М, (х) М). Якщо приріст функціоналу J[ у(х)] = J[у(х) + у] – J[у(х)] можна представити у вигляді J = L[у(х), δ у] + β (у(х), δ у)|| δ у||, то лінійна частина приросту називається варіацією функціоналу δ J = L[у(х), δ у]. Тут β (у(х), δ у) → 0 при ||δ у|| → 0, ||δ у|| - норма δ у.

12. а) δ J- лінійна частина приросту J

6) δ J= J[y(х) + α у(х)]| _{α =0}
в) J = δ ydx, якщо J = F(х, у, у')dх.

13. Криві у = у(х) і у = у₁ (х) близькі в смислі близькості нульового порядку, якщо | у(х) – у₁ (х)| - малий на [а; b]. Геометрично це означає, що ці криві близькі на [а; b] по ординаті. Криві у(х) і у₁ (х) на [а; b] близькі в смислі близькості к-го порядку, якщо | у(х) - у₁ (х) |, | y'(х) - у₁^'(х) |..., | y^(k)(x)- у^(k) ₁ (х) |малі на [а; b].

14. Якщо криві близькі в смислі близькості k-го порядку, то вони близькі в смислі близькості будь-якого порядку. Якщо k модулів малі, то і менша їх кількість теж малі.

Криві у = і у₁ (х) = 0 на [0; π ] близькі в смислі 0-го порядку,

але в смислі 1-го порядку не є близькими, бо у' = псоsп² х і у' = 0 є такі, що

| nсоs² пх |= п | соs² пх| не є малими для всіх х [0; π ],

бо при х = п | соs² пх |= п, n= 1, 2, 3,....

15. Так. Наприклад, а) у = --- , у₁ (х) = 0, х [0; π ];

б) у = у, у₁ (х) = 0, х [0; 1].

16. Якщо у = у(х) і у = у₁ (х) - неперервні криві на [а; b], то відстанню
між ними називається невід'ємне число ρ таке, що

17. Відстанню n-го порядку між кривими у = у(х) і у = у₁ (х), де у(х) і у₁ (х) на [а; b] мають неперервні похідні n-го порядку називається найбільший з максимумів величин | у(х) - у₁ (х) |, | у'(х) - у'₁(х)|,..., | _У⁽ⁿ⁾(х)-y₁⁽ⁿ⁾(х)|.

18. Така близькість розуміється і в смислі близькості ординат і в смислі близькості напрямків дотичних.

19. Функціонал J[y(х)], визначений в класі М функцій у(х), називається неперервним при у = у_о(х) в смислі близькості n-го порядку, якщо для будь-якого

ε > 0 існує δ > 0 таке, що для всіх допустимих функцій у = у(х), що задовольняють умови | у(х) -у₁ (х) |< δ, | у'(х) -у'₁(х)| < δ,..., | у⁽ⁿ⁾(х) – у⁽ⁿ⁾₁(х)| < δ, виконується нерівність |J[y(x)]-J[y₀(x)]|< ε або, якщо J[y₀(x)+ δ y(x)]=J[y₀(x)]

Приклади. 1) J[y(x)] = у₀(х), у(х) С_{[а; b]} і х₀ [а; b] -

неперервний функціонал в смислі близькості нульового порядку.

2) J [у(х)] = + 2у'²(х))dх на функції у₀(х) = 0, де

у(х) С , в смислі близькості першого порядку -неперервний функціонал.

3) J[y(х)] = mах| у(х)|, де у(х) С_{[a; b]} - неперервний в смислі близькості нульового порядку.

20. Не слідує. Розглянемо функціонал J[у(х)] - у'(х_о) неперервний в
смислі близькості 1-го порядку. Справді, візьмемо ε > 0. Маємо
|J[y(x)]-J[y₀(x)]|=| f '(x₀)- f'₀(x₀)|. Якщо взяти δ = ε, то при
ρ ₁(у(x), y₀' (x)) < δ будемо мати |J[y(x)]-J[y₀(x)]|< ε.Але цей
функціонал розривний в смислі нульового порядку. Візьмемо
функцію φ (х) таку, що φ '(х_о) = 1 і | φ (х)| < δ на [а; b]. Візьмемо
функцію f(х) = f₀(х) + φ (х), де f₀(х) С₁ [а, b]. Тоді

ρ (у(x), y₀' (x)) < δ _, тобто криві f(x) i f₀(x) близькі в смислі близькості нульового порядку. В той же час |J[f(x)]-J[f₀(x)]|= 1, тобто значення функціонала не близькі при будь-якій близькості нульового порядку аргументів у(х) і у_о(х). Отже, існує ε > 0 (якраз ε < 1) таке, що яке б не було δ > 0, знайдуться f(х) такі, що ρ ₀(f, f₀) < δ і | J[f(x)]-J[f₀(x)] |≥ ε - функціонал розривний в смислі близькості нульового порядку.

21. Функціонал J[y(х)] досягає на кривій у = у_о(х) максимум, якщо значення функціонала J[у(х)] на будь-якій близькій до y_о(х) кривій не більше ніж J[у₀(x)], тобто J = J[y(х)] - J[у_о(х)] ≤ 0, якщо J < 0 і J= 0 лише при у = у_о(х) - строгий максимум.

22. Функціонал J[у(х)] досягає на кривій у = у₀(х) сильний максимум, якщо для всіх допустимих кривих у = у(х) близьких до кривої у₀(х) в смислі близькості нульового порядку виконується умова J[у(х)] ≤ J[у₀(х)]. Функціонал J[у(х)] досягає на кривій у = у₀(х) слабкий максимум, якщо для всіх допустимих кривих у = у(х), які близькі до кривої у = у₀(х) в смислі близькості першого порядку, маємо

J[y(х)] =J[у₀(х) ].Будь-який сильний екстремум в той же час є і слабким, але навпаки ні, оскільки сильний екстремум залежить лише від близькості функцій, а від похідних не залежить. Слабкий же екстремум залежить і від близькості функцій і від близькості їх похідних. Маємо, що якщо крива у(х), близька до кривої у'₀(х) в смислі близькості 1-го порядку, то вона близька і в смислі 0-го порядку. Але ж серед кривих у = у(х) близьких до у = у₀(х) як по ординаті, так і по напряму дотичних, може не бути таких, для яких J[y(х)] > J[у₀(х) ] (в випадку mах), а серед кривих у = у(х) близьких тільки по ординатах, але не близьких по напряму дотичних, можуть знайтися і такі, для яких J[y(х)] > J[у₀(х) ]. (в випадку mах).

23. Якщо функціонал J[у(х)], що має варіацію, досягає екстремуму при

y= у₀(х), де у₀(х) - внутрішня точка області визначення функціонала, то при

у = у₀(х) δ J = 0, тобто на кривих, на яких досягається екстремум функціонала, його варіація дорівнює нулю.

24. Ні, бо при доведенні не використовується характер близькості.

25. Так. Розглянемо цей функціонал. Візьмемо у_n(х) = . Тоді

при . З другого боку

J[y_n(х)] -J[у₀(х) ]= соs² пхdх = не залежить від n. Таким

чином, при J[ у_п (х)] не прямує до J[у₀ (х)] = 0, тобто функціонал розривний на функції у₀(х) 0. В смислі близькості першого порядку він є неперервним.

26. Нехай М - лінійний нормований простір функції у(х). Функціонал
J[у(х)] на М називається лінійним, якщо він задовольняє умовам:

1) J[су(х)] = с J[у(х)], с - стала;

2) J[у₁(х)+ у₂(х)] = J[y₁(х)] + J[у₂(х)], у₁(х) М, у₂(х) М.

Приклади. 1. Функціонал J[у(х)]= (у'(х)+ у(х))dх на просторі

С⁽¹⁾[а, b] - лінійний.

2. Функціонал J[у(х)] = у(х₀).

27. Лінійний.

28 а) J[cy(x)]= (p(x)cy + q(х)су'(х))dх = с (р{х)у + q(х)у'(х))dх =

сJ[у(х)]

б) J[у₁(х) + у ₂ (х)] = (р(х)(у₁ (х) + у₂(х)) + q(х)( у'₁(х)+ у'₂(х) )) dх =

= ((p(х)у₁ + q(х) у'₁ ) + (р(х)у₂ + q(х)у'₂))dх = ((р(х)у₁ + q(х) у'₁ )dх) +

+ (р(х)у₂ + q(х)у'₂ dх = J[у'₁(х)] + J[у₂ x)].

функціонал лінійний.

29. Означення. Лінійним простором називається множина Е{х, у, z,...}, в якій означені операції додавання і множення на дійсні числа,
так що виконуються умови: 1)х + у = у + х для будь-яких х, у Е;

2) (х + у) + z = х + (у + z) для будь-яких х, у, z Е;

3) 0 Е, що х + 0 = х для будь-якого х Е;

4) х Е (-х) Е (х + (-х) = 0);

5) для будь-якого х Е і λ, R;

6) 1·х = х х Е;

7) ( λ + μ)х = λ х + μ х, х Е і λ, μ R;

8) λ (х + у) = λ х + λ у, х, у Е і λ R..
Приклади. 1) векторний простір R_n; 2) простір неперервних на [а; b]
функцій С[а; b]; 3) простір неперервно-диференційовних функцій
на [а; b] С⁽¹⁾[а; b].

Означення. Лінійним нормованим простором називається лінійний простір Е, в якому кожному елементу х Е ставиться у відповідність дійсне число ||x|| (норма елемента х), що виконуються умови:

1. ||х||≥ 0 і ||х|| = 0 x = 0.

2. || λ x || = | λ | ·||х||.

3. ||х + у|| ≤ ||х|| + ||у|| x, у Еi λ R.

Приклади. 1) в R_п || х || = .

2) в С[а; b] || х || -

3) вС⁽¹⁾[а; b] || х || = .

30. Властивості функціоналу залежать не лише від закону
відповідності, але і від властивостей самого простору X. Зокрема,

якщо розглядати функціонал J[у(х)]= F(х, у, у')dх в просторі

С[а; b], то він в ньому, взагалі кажучи, не є неперервним. 1

Розглянемо функціонал J[у(х)] = у'² dх. Криві у_п = соsпх

знаходяться від у = 0, х , [-π /2; π /2] на відстані, що дорівнює

ρ (у_n, 0)= при . Однаку інтеграл

J[y(х)] = у' ²dх для функцій у_n(х) дорівнює π /2 для n = 1, 2, З,..., а для функцій у = 0 він дорівнює нулю. Отже, J[у_n(х)] не прямує до J[0] = 0 при , то функціонал не є неперервним на функції у(х) = 0, х [-π /2; π /2].

31. Означення. Функціонал J[y(x)] визначений в лінійному нормованому просторі має другу варіацію, якщо його приріст J

можна представити у вигляді J = L₁[δ y] + L₂[δ у] + β || δ y||², де

L₁[δ y] -лінійний функціонал, L₂[δ y] - квадратичний функціонал, а при

0. Друга варіація функціонала δ ²J = L₂[δ y].

Друга варіація для функціоналів інтегрального типу також

визначається так:

32. Функціонал J[х, у] залежний від двох змінних називається
білінійним, якщо при фіксованому х він є лінійним по у, а при
фіксованому у - лінійним по х, тобто J[ α ₁x₁ + α ₂х₂,, у] = α ₁J [х₁, у] +

α ₂J [х₁ , y].

J[x, β ₁y₁ + β ₂у₂] = β ₁ J[xу₁] + β ₂J[x, у₂].

Покладаючи в білінійному функціоналі х = у, одержимо J[х, х] -квадратичний функціонал.

Наприклад. J[х, у] = А(t)х(t)у(t)dt, де А(t) - фіксована

неперервна функція - білінійний функціонал, а

J[х, х] = А(t)х²(t)dt - квадратичний функціонал.

33. δ ²J = ( δ у² + 2 δ у δ у' + δ у^{', г})dх.

34. Якщо крива у = у(х) С⁽¹⁾ [а; b] реалізує мінімум J, то для довільної функції η (х), η (а) = η (b) = 0, класу С⁽¹⁾[а; b] δ ²J ≥ 0.

35. Для того, щоб квадратичний функціонал (Р(х) δ у² + R(х) δ у' ²)dх був невід'ємним для довільної функції δ у(х) класу С'[а; b], для якої

δ у(а) = δ у(b) = 0, необхідно, щоб на [а; b] задовольнялась нерівність R(х) ≥ 0.

36.δ y(x)=

37. Для того, щоб екстремаль у = у(х) реалізовувала мінімум

(максимум) функціонала J = F(х, у, у')dх, необхідно, щоб

вздовж екстремалі виконувалась умова ≥ 0 ( ≤ 0).

38. Найпростіша задача варіаційного числення полягає в знаходженні

слабкого екстремуму функціоналу J[у(х)] = F(х, у, у')dх на

множині всіх гладких кривих, що з'єднують точки А(а, у(а)), В(b, y(b)).

39. Якщо крива у = у(х) реалізує екстремум функціоналу J[у(х)], то функція у = у(х) задовольняє диференціальне рівняння

40. Задачі на знаходження екстремуму функціоналів є варіаційними. Приклад: задача про брахістохрону (про криву найшвидшого спуску), задача про найменшу поверхню обертання, ізопериметрична задача і т.д.

41. Для того щоб функція у(х) С⁽¹⁾[а; b] реалізовувала мінімум

(максимум) функціонала J[у(х)]= F(х, у, у')d х при граничних

умовах у(а) =у ₁, у(b) = у₂, необхідно, щоб варіація

δ J = (F'_у (х, у, у') δ у(х) + F'_у'. (х, у, у') δ у'(х))dх

перетворювалась в нуль для довільної функції δ у(х) С⁽¹⁾[а; b], такої що δ у(а) = δ у(b) = 0.

42. Одержується вираз лінійний тільки по δ у(х) в результаті

перетворення Лагранжа. При цьому інтегрується частинами вираз

F'_y' δ у'dх.

43. Одержується вираз лінійний тільки по δ у'(х) в результаті
перетворення Дюбуа-Реймона. При цьому інтегрується частинами

ь вираз F_y' δ уdх.

44. Ми вважаємо, що у(х) має неперервну похідну, але у'(х) не вважаємо диференційованою. Разом з тим це необхідно. Перетворення Дюбуа-Реймона не потребує додаткових гіпотез про структуру функції у(х).

45. Екстремалі - розв'язки рівняння Ейлера

46. Загальний розв'язок рівняння Ейлера є двопараметрична сім'я кривих

у = у(х, α, β).

47. 1) F залежить тільки від у': F = F(у').

Рівняння Ейлера має вигляд у" = 0, бо = у' = = 0.

Загальний розв'язок рівняння Ейлера в цьому випадку у = c₁ x + с₂ (однопараметрична сім'я кривих міститься в двопараметричній).

2) F залежить лише від х і у': F = F(х, у').

Рівняння Ейлера має вигляд (х, у') = 0. Перший інтеграл

рівняння Ейлера F'_у'.(х, у') = с₁

3) F = F(у, у'). Перший інтеграл рівняння Ейлера F — у' =c_1..

4) F = F(х, у). Розв'язок такої варіаційної задачі не існує, бо
рівняння Ейлера в цьому випадку F'_y (х, у) = 0, бо F'_y' = 0.

Розв'язок рівняння F'_y (х, у) = 0 не містить довільних елементів, то

не задовольняються граничні умови у(х₀) = у_о, у(x₁) = у₁.

48. = 0. Якщо 0, то кутових точок немає.

49. В задачах відбивання і заломлення екстремалей.

50. Так. Екстремалі з кутовими точками можуть появлятися і в задачах

на екстремум функціоналу J[у(х)] = F(х, у, у')dх, де F - тричі

диференційовна і допустимі криві повинні проходити через граничні точки А(х₀, у_о) і В(х₁, у₁) без будь-яких додаткових

обмежень. Наприклад, функціонал J[у(х)] = y'²(1 -у')²dх,

у(0) = 0, у(2) = 1. Оскільки підінтегральна функція невід'ємна, то і

J[у(х)] ≥ 0, то якщо на якій-небудь кривій функціонал J= 0, то на

цій кривій реалізується абсолютний мінімум функціонала J

(найменше його значення). Але і на ламаній у=

функціонал має значення 0 - це екстремаль з кутовими точками реалізує мінімум функціонала.

51. З основної необхідної умови екстремуму функціоналу

0 = δ J = (F'_y δ у + F'_y' δ у')dх приведення інтеграла перетворенням

Лагранжа до вигляду δ J= ( )δ уdх і застосування

основної леми варіаційного числення.

52.

Ці умови разом з умовами неперервності шуканої екстремалі дозволяють визначити координати кутової точки.

53. (F+( φ '-y' ) F'_y')|_{x= -0}.

Кутова точка екстремалі лежить на кривій у = φ (х).

54.

55. Нехай α - кут між дотичною до кривої у = φ (х) і віссю абсцис, а
кути нахилу до осі ОХ лівої і правої дотичних до екстремалі в точці
С(x₁, y₁) φ (х) відповідно β ₁ і β ₂, одержимо

у'(x₁ -0) = tg β ₁ ,, у'(х₁ + 0) = tg β ₂,, φ '(х₁) = tg α

умова в точці відбивання С має вигляд

Після спрощення і множення на соsα:

- соs(α - β ₁) = соs(α - β ₂) рівність кутів падіння і відбивання.

56. (F₁+( φ '-y' ) F'₁ y')|_{x= -0} =(F₂+( φ '-y' ) F'₂ y')|_{x= +0}

В точці заломлення С(х₁, у₁) може бути розривна лише у'. Ці умови заломлення разом з рівнянням у = φ (х) дозволяють визначити координати точки С(х₁, у₁).

57. A₁(x, y) A₂(x, y)

58. Крива у = φ (х) в задачі заломлення є лінією розриву функції F(х, у, у'), а граничні точки А(х₀, у₀) і В(х₂, у₂) розміщені по різні сторони цієї кривої.

59. Задача про екстремум функціоналу

J [у(x)]= F(х, у(х), у'(х),..:, у⁽ⁿ⁾(х))dx (**) при граничних

умовах у(х₀) = у_о, у'(x_о) = у'_о, …, y^(n-1) (х_о) = y_о^(n-1), у(x₁) = y₁,

у'(x₁) ⁼ у'₁,..., у^(n-1)(х₁) = у₁^(n-1) F - функція диференційовна n+2 рази по всіх аргументах, у(х) С⁽¹⁾[х₀, x₁].

60. Розв'язки рівняння Ейлера-Пуассона

+ .

61. Якщо крива у = у(х) С⁽¹⁾ [х₀, x₁]реалізує екстремум функціоналу (**), то вона задовольняє рівняння Ейлера-Пуассона (***).

62. Задача про екстремум функціонала, що залежить від m функцій:

J[y₁(x), y₂(x), …, y_m(x)]= ^F(х, у₁ , у₂, …, y_m, , у'₁, y'₂,, …, у'_m)dx (4*)

при граничних умовах у_k (х₀) = у⁰_k, у_k (х₁) = у¹_k = . F -неперервна функція своїх аргументів, і має по кожному з них частинні похідні до третього порядку включно.

63. Вони є розв'язками системи диференціальних рівнянь Ейлера:

64. Розширюється клас допустимих кривих. Якщо в задачах з нерухомими межами це була сім'я кривих, які проходили через дві фіксовані точки А(х₀, y₀) і B(х₁ , y₁), то в задачах з рухомими межами їх клас розширюється за рахунок того, що точки А і В рухаються по кривих у = φ (x) і у = ψ (х) відповідно. Має виконуватись рівняння Ейлера. Рівняння Ейлера дає двопараметричну сім'ю екстремалей у = у(х, α, β). В задачах з нерухомими межами параметри α і β визначались з граничних умов. В задачах з рухомими межами вони відсутні і замінюються умовами трансверсальності.

65.

66. Умова трансверсальності встановлює залежність між кутовими коефіцієнтами φ ' і у' в межовій точці.

67. φ (х), ψ (х) С⁽¹⁾[х₀; х₁],

68. Для розв'язування задачі з рухомими межами треба:

а) написати і розв'язати рівняння Ейлера. Одержимо сім'ю
екстремалей у = у(х, с_1, с₂).

б) з умов трансверсальності (5*) і з рівнянь

визначити сталі с_1, с₂, х₀, х₁.

в) обчислити екстремум функціонала.

69. Умовою ортогональності 1 + у'φ ' = 0.

70. Нехай є функція z = f(х₁ , х₂,..., x_n)в D Е_n і m рівнянь зв'язку

, m< n

точка х₀ = (х₁⁰, х₂, ⁰,.., х⁰_п) - внутрішня точка області D. Вона є точкою мінімуму, якщо f(х₁ , х₂,..., х_n) ≥ f(х⁰₁, x⁰₂,,..., x⁰_п), будь-які точки (х₁, х₂,..., х_n) належать околу точки (х⁰₁, x⁰₂, 0,..., x⁰_п)

Для її розв'язання складемо функцію Лагранжа: Ф = f + - сталі невизначені числа. Функція Ф досліджується на безумовний

екстремум. Складається система рівнянь

, 3 неї і з рівнянь зв'язку φ _i: = 0, і =

визначаються значення параметрів і координати (х₁ , х₂,..., x_n) можливих точок екстремуму.

Ці умови є необхідними умовами екстремуму як для функції Лагранжа, так і для функції z = f(x₁, x₂,,..., x_п ). Щоб дослідити

стаціонарну точку (х⁰₁, x⁰₂,,..., x⁰_п) на умовний екстремум складаємо квадратичну форму (другий диференціал функції Лагранжа в цій

точці) В(dх₁, dх₂,..., dх_n-m) = (6*) з врахуванням умов

…+ . Якщо другий

диференціал (6*) (квадратична форма) визначений, то в

точці (х⁰₁, x⁰₂,,..., x⁰_п) є умовний екстремум, зокрема — умовний

максимум, якщо В від'ємно визначена і - умовний мінімум, якщо В

додатньо визначена. Якщо ж квадратична форма невизначена, то

екстремуму немає.

71. Нехай є функціонал J= F(х, у₁, у₂,..., у_п, у'₁, у'₂,..., у'_п)dх і

- рівняння зв'язку. Складаємо функціонал J*= F*dx, де F* =F+ для якого

розв ’язується система

Знайдені з цієї системи криві будуть розв'язками вихідної варіаційної задачі.

72. Так. Нехай дано дві функції F(х, у, у') і G(х, у, у'). Серед всіх

кривих у = у(х) С⁽¹⁾[х₀; x₁]на яких функціонал

K[у(х)] = G(х, у, у')dx =l приймає значення l, знайти ту, для

якої функціонал J[у(х)] = F(х, у, у')dх приймає екстремальне

значення. F і G мають неперервні частинні похідні першого і другого порядків при х [х_о; x₁] і при довільних значеннях у, у'.

73. При розв'язуванні ізопериметричної задачі користуються теоремою
Ейлера: якщо крива у = у(х) дає екстремум функціоналу

J[у(х)] = F(х, у, у')dх при умові К[у(х)]= G(х, у, у')dх = l,

y(x_о) ⁼ y_о, y(x₁) ⁼ y₁ і y ⁼ у(х) не є екстремаллю функціонала K, то існує стала λ така, що крива у = у(х) є екстремаллю функціонала

L= (F(х, у, у') + λ G(х, у, у'))dх.

Тому складають допоміжну функцію Н = F + λ G і функціонал.

Нdх, а тоді скласти для нього рівняння Ейлера.

74. Серед замкнених кривих довжини 2 l знайти ту, яка обмежує найбільшу площу.

75. Знайти лінію у = у(х), у(-а) = у(а) = 0, яка при заданій довжині l > 2а обмежує разом з відрізком [-а; а] осі ОХ найбільшу площу. Задача зведеться до знаходження екстремуму функціоналу

J[у(х)] = y(х)dx, у(-а) = у(а) = 0 при умові, що

К[у(х)] = l > 2а.

76. Це тому, що довжина дуги кривої у = у(х) С⁽¹⁾[х₀; х₁] є інтеграл

Функціонали К і J можна міняти місцями відповідно переформувавши характер варіаційної задачі.

77. Задача про максимум площі, обмеженої замкненою кривою заданої
довжини і задача про мінімум довжини замкненої кривої, що
обмежує задану площу, взаємні і мають спільні екстремалі.

78. Якщо на площині ХОУ через кожну точку області D проходить одна і тільки одна крива сім'ї у = у(х, с), то ця сім'я кривих утворює поле. Приклад. Сім'я у = х + с утворює поле в області х² +у² ≤ 1.

79. Кутовий коефіцієнт дотичної Р(х, у) до кривої сім'ї у = у(х, с) в точці (х, у) називається нахилом поля в точці (х, у).

80. Якщо криві пучка у = у(х, с) покривають всю область D і не перетинаються в ній, крім центра, то вони утворюють центральне поле.

81. Не утворюють власного поля в D, якщо центр пучка належить області D.

82. При а < π - центральне поле; при а > π поля не утворює.

83. Якщо власне або центральне поле утворене сім'єю екстремалей деякої варіаційної задачі, то воно називається полем екстремалей.

84. Екстремаль включена в поле екстремалей. Якщо знайдена сім'я екстремалей у = у(х, с), що утворює поле, яке містить при с = с₀ екстремаль у = у(х), причому ця екстремаль не лежить на межі області D, я якій сім'я у = у(х, с) утворює поле.

85. С - дискримінантною кривою називається крива, яка визначається

cистемою

86. Належить С - дискримінантній кривій.

87. Якщо АВ екстремалі у = у(х) має відмінну від А спільну точку А*

з С - дискримінантною кривою пучка у = у(х, с), то точка А*

називається спряженою до точки А.

88. Для побудови центрального поля екстремалей з центром в точці А,

що містить дугу екстремалі АВ, достатньо, щоб точка А*, спряжена

точці А, не лежала на дузі АВ.

89. Рівняння Якобі:

Якщо існує розв'язок рівняння Якобі, який перетворюється в 0 при х = х₀ і більш не перетворюється ні в одній точці на [х₀, х₁], то спряжених точок А* точці А на дузі АВ немає - умова Якобі виконується і дугу АВ екстремалі можна включити в центральне поле екстремалей з центром в точці А. Якщо ж існує розв'язок рівняння Якобі, що перетворюється в нуль при х = х₀ і ще при одному х з [х₀, x₁], то на дузі АВ не можна включити в центральне поле екстремалей з центром в точці А.

91. Для того, щоб екстремаль функціонала J[у(х)] = F(х, у, у')dх, при

граничних умовах у(х₀) = уо, у(х₁) = у₁ можна було включити в поле екстремалей достатньо виконання підсиленої умови Лежандра:

> 0 для всіх точок розглядуваної екстремалі, тобто при всіх х

[х₀, х₁].

92. Функція Вейєрштраса - це функція
Е(х, у, р, у')= F(х, у, у')-F(х, у, р)-(у'-р)рF'_p (х, у, р).

Тут J[у(х)] = F(х, у, у')dх, р(х, у) - нахил поля.

93. J = E(х, у, p, у')dх.

94. Для слабкого екстремуму:

а) крива С - екстремаль функціонала, що задовольняє
екстремальним умовам;

б) екстремаль С може бути включена в поле екстремалей;

в) функція Вейєрштраса Е(х, у, р, у') повинна зберігати знак в усіх
точках (х, у), які близькі екстремалі С, і для близьких до р(х, у)
значень у' функціонал буде мати мінімум при Е(х, у, р, у') ≥ 0, ( J ≥ 0) і максимум при Е ≤ 0 (бо J ≤ 0).

95. Достатні умови сильного екстремуму. Крива С реалізує сильний
екстремум функціонала, якщо:

а) крива С — екстремаль функціонала, що задовольняє граничним
умовам;

б) екстремаль С може бути включена в поле екстремалей;

в) функція Вейєрштраса Е(х, у, р, у') зберігає знак в усіх точках

(х, у), близьких до екстремалі С, і для довільних значень у'. При Е ≤ 0
буде максимум сильний, а при Е ≥ 0 мінімум сильний.

96. Сильний екстремум не досягається. Тоді не досягається слабкий екстремум. Умова Вейєрштраса необхідна.

97. Е(х, у, р, у') = (х, у, q) лежить між р і у'.

98. З формули Тейлора:

F(х, у, у')= F(х, у, р)+(у' - р)F'_р(х, у, р)+ (х, у, q) і виразу для

функції Вейєштраса (див. №92).

99. Якщо (х, у, у') 0 в точках екстремалі С, то оскільки ця похідна неперервна, то вона зберігає знак і в точках близьких до С і для значень у', близьких до значень у' на кривій С.

100. Для слабкого екстремуму функціонала J[у(х)] = F(х, у, у')dх

1) якщо функція F(х, у, у') має неперервну частинну похідну

(х, у, у');

2) екстремаль С може бути включена в поле екстремалей;

3) на екстремалі С маємо > 0, то на кривій С досягається
слабкий мінімум. Якщо ж на екстремалі С маємо < 0, то на
кривій С досягається слабкий максимум.

101. Для сильного екстремуму функціонала:

1) Якщо функція F(х, у, у') має неперервну частинну похідну
(х, y, у');

2) екстремаль С може бути включена в поле екстремалей;

3) (х, у, у') ≥ 0 в точках (х, у) близьких до екстремалі С, при

довільних значеннях у', то маємо сильний мінімум на С, а в випадку коли для вказаних значень аргументу (х, у, у') ≤ 0, маємо сильний максимум.

ЛІТЕРАТУРА

1. Гюнтер Н. М., Кузьмин Р. О. Сборник задач по высшей математике, т.
III, Гостехиздат, 1947.

2. Краснов М. Л., Макаренко Г. И., Киселев А. И., Вариационное
исчисленне, Наука, 1973.

3. Лаврентьєв М. А. Люстерник Л. А., Курс вариационного исчисления, Гостехиздат, 1950.

4. Цлаф Л. Я., Вариационное исчисленне и интегральные уравнения, Наука, 1970.

5. Эльстольц Л. Э., Дифференциальные уравнения и вариационное
исчисленне, Наука, 1980.

6. Карташов А. П., Рождественский Б. Л., Обыкновенные
дифференциальные уравнения и основи вариационного исчисления, Наука,
1976.