Пример 4. Луч света направлен по прямой . Дойдя до прямой , луч от нее отразился. Составить уравнение прямой, на которой лежит отраженный луч.

Решение. Решение этой задачи основано на классическом законе оптики - угол падения равен углу отражения (Рис. 2). Вспомним, как в физике определяются углы падения луча () и угол отражения (). Угол падения - это угол между падающим лучом и перпендикуляром, проведенным к отражающей поверхности в точке отражения. Угол отражения - это угол между отраженным лучом и тем же перпендикуляром. Подчеркнем, что угол рассматривается по абсолютной величине, ненаправленный.

В данном примере физическая задача решается методами аналитической геометрии. В качестве углов падения и отражения мы будем рассматривать не те углы, которые рассматриваются в физике, а углы, которые их дополняют до 90° (Рис. 3). Геометрически нетрудно доказать, что эти углы тоже равны.

Таким образом, угол падения - это угол между отражающей прямой и падающим лучом; угол отражения - это угол между отражающей прямой и отраженным лучом. Углы и будут считаться положительными, если переход от отражающей прямой к падающему (соответственно, отраженному) лучу происходит против часовой стрелки; в противном случае углы считаются отрицательными.

На Рис. 4 изображены условия примера 4. На нем, в частности, видно, что в рассматриваемом примере угол падения - отрицателен, а угол отражения -положителен.

Сформулируем оптический закон немного иначе: угол падения равен углу отражения по модулю, но противоположен по знаку, т.е. , но . Следовательно,

, но .

Продолжим решение задачи. Сначала найдем угол падения . Для этого исходные уравнения прямых разрешим относительно .

;

.

Тогда . Далее найдем тангенс угла отражения . Теперь рассмотрим пару - отражающая прямая и отраженный луч: , значит , , где коэффициент неизвестен. По той же формуле (4) имеем:

.

Осталось найти точку отражения, как решение системы линейных уравнений:

Вычтем из уравнения (II) уравнение (I): . Тогда точка отражения имеет координаты: . Окончательно уравнение отраженного луча примет вид: или .