Определение. Пусть функция f(x) определена на всей числовой прямой. Число В называется пределом f(x) при , если для любой последовательности (хп) такой, что .

В этих случаях пишут, что . Аналогично, , если для любой последовательности (х_п) такой, что .

Пример. Докажем, что

Решение.

Рассмотрим произвольную последовательность (х_п) такую, что

.

Так как последовательность , где n Î N, сходится к 1, то согласно определению . Легко видеть, что и .

Кроме рассмотренного случая конечного предела функции f(x) при х ® ∞ (или иначе х ® ± ¥) используется понятие бесконечного предела. Например, функция , определенная для всех х ¹ 0, принимает сколь угодно большие значения при х ® 0. В этом случае говорят, что функция в точке х = 0 имеет своим пределом бесконечность, и пишут .

Определение. Если для любой последовательности значений аргумента (хп) такой, что хп ¹ 0 и, имеет место, то говорят, что предел функции f(x) в точке а есть бесконечность, и пишут.

Пример. Найдите пределы функций:

1) ; 2)

Решение. При определении значений предела функции на бесконечности воспользуемся тем же приемом, что и в случае последовательности:

1)

2)

Ответ. 1) -3, 2) 0.

Задание. Вычислите предел функции на бесконечности:

Решение:

____________________________________________________________________________________________________________________________________

Ответ: -1.