Главная страница Случайная страница КАТЕГОРИИ: АвтомобилиАстрономияБиологияГеографияДом и садДругие языкиДругоеИнформатикаИсторияКультураЛитератураЛогикаМатематикаМедицинаМеталлургияМеханикаОбразованиеОхрана трудаПедагогикаПолитикаПравоПсихологияРелигияРиторикаСоциологияСпортСтроительствоТехнологияТуризмФизикаФилософияФинансыХимияЧерчениеЭкологияЭкономикаЭлектроника |
Метод бисекции
Простейшим методом является метод бисекции, называемый также методом деления пополам или методом дихотомии. Он состоит в следующем. Допустим, что удалось найти отрезок , на котором расположен один корень. В качестве начального приближения к корню принимаем середину этого отрезка: . Далее исследуем знаки значений функции на концах отрезков и то есть в точках . Тот из отрезков, на концах которого принимает значения разных знаков, содержит искомый корень; поэтому его принимаем в качестве нового исследуемого отрезка . Вторую половину отрезка не рассматриваем (так как корня там нет). В качестве первого приближения к корню принимаем середину нового отрезка и т.д. После каждого приближения (итерации) отрезок, на котором расположен корень, уменьшается вдвое, то есть после k-ой итерации он сокращается в 2 k раз. Опишем очередную -ю итерацию метода. Пусть отрезок уже найден и вычислены значения . Тогда производятся следующие действия: 1. Вычисляется . 2. Если , то в качестве отрезка локализации принимается отрезок , в противном случае – отрезок . 3. Вычисляется . Продолжение описанного итерационного процесса дает последовательность отрезков , , содержащий искомый корень. Середина -го отрезка – точка дает приближение к корню , имеющее оценку погрешности . Это означает, что метод бисекции сходится со скоростью геометрической прогрессии, знаменатель которой . Аналогично оценивают скорости сходимости других методов. Итерационный процесс следует продолжать до тех пор, пока значение функции после некоторой итерации с номером k+ 1 не станет по модулю не больше некоторого заданного малого числа , то есть |. После этого с погрешностью полагают: . Замечание: Другим вариантом условия окончания итераций может служить . Это условие следует из очевидного неравенства . Пример: Найти методом бисекции с точностью положительный корень уравнения . Решение: Из предыдущего примера видно, что этот корень был локализован на отрезке , причем . Положим . I итерация: Вычисляем . Так как , то за очередной отрезок локализации принимаем . Вычисляем . II итерация: Вычисляем . Так как , то и . Результаты следующих итераций (с четырьмя цифрами после десятичной точки) приведены в таблице
При имеем . Следовательно, заданная точность достигнута и можно принять . Окончательно получим .
|