Билет 8

1. Предел последовательности функций одной и нескольких переменных. Критерий Коши существования предела последовательности функций
Определение: последовательность – функция, которая каждому натуральному числу n из N ставит в соответствие элемент x_n из определённого множества.
Определение: последовательность (x_n) действительных чисел называется сходящейся, если существует действительное число а и для произвольного существует натуральное число m такое, что для всех n> m справедливо неравенство В данном случае а – предел последовательности.

Критерий Коши.
Для того чтобы функц-ная посл-ть сходилась равномерно на она была фундаментальной.
Фундаментальная последовательность.
Функц-ная посл-ть наз-ся фундаментальной, если , что сразу для всех .

Предел последовательности через окрестности для одной переменной: Число называется пределом функции при , если для любого положительного числа найдётся положительное число такое, что значения функции принадлежат -окрестности точки для всех из выколотой -окрестности точки
Определение предела функции n переменных в точности совпадает с определением предела функции одной переменной, только окрестность точки a теперь не интервал (a − δ, a + δ), а n–мерный открытый шар (x1 − a1)² + (x2 − a2)² + … + (xn − an)² < δ ².