Элементы теории поля. Поток, дивергенция, ротор в-ра. Т-ма Гаусса-Остроградского. Т-ма Стокса

Дана обл-ть ().

Будем говорить, что в обл задано скалярное поле, если т ставится в соотв по известному закону число . Если т ставится в соотв по известномузакону некот в-р если , то гов-ят, что в обл задано векторное поле.

Задание векторного поля заданию ф-ции , а задание скалаярного поля

Поле наз диф-мым, если ф-ции и диф в обл . диф скал поле. Тогда в-р наз градиентом скалярного поля в т . Обозн

В данном случае скалярное поле порожд векторное поле градиента - вектор, кот по напр-ю и своему значению характеризует скорость возрастания ф-ции .

, где - оператор Гамильтона.

Опр. поле - диф векторное поле, тогда вектор наз ротором векторного поля и обозн

Если рассм как поле скоростей при движении тв тел, то с точностью до множителя ротор этого поля дает угловую скорость.

Опр. поле - диф векторное поле, тогда величина наз дивиргенцией вект поле в т и обозн .

При движении несжим жидк при наличии источников (или стоков) дивергенция хар-ет плотность источника (стока). диф вект поле порождает вект поле его ротора и скалярное поле его дивергенции.

;

Св-ва. 1) 2) ( - оп-р Лапласа) 3)

Опр. Этот инт-л наз потоком в-ра ч/з пов-ть в указ направлении.

Теорема Остроградского-Гаусса

Пусть в области G заданы функции P, Q, R непрерывные на вместе со своими частными производными тогда

Теорема Стокса.

Рассм вект поле некоторой кривой . - проекция в-ра на ед в-р касательной

Опр. лин интл в поле вдоль . Если замкнута, то инт-л назыв циркуляцией вдоль .

, . .

Если в-р - в-р силы, то этот лие интеграл предст собой работу сил поля вдоль кривой .

Теорема Стокса. Циркуляция в-ра вдоль по контуру равно потоку ротора в-ра ч/з пов-ть , натянутую на эту кривую

Теорема Стокса (новая). Циркуляция в-ра вдоль по контуру равно потоку вихря этого поля ч/з пов-ть , натянутую на эту кривую

2. Вращение абсолютно твердого тела вокруг неподвижной оси. Давление на ось

Вращательным движ.тв.тела вокруг неподв.оси наз.движ., при кот.остаются неподвиж.его 2 точки.

Пусть на это тело действ.силы . Треб.опр.3-н.вращения тела вокруг оси и реакции в т-ках закрепления. Для вывода уравнения движения применим теорему об изменении кинетического момента относительно неподвижной оси, которую примем за ось Z.

-д.у. движения

Давление на ось.

Т-ма об изминении кол-ва движения.

Т-ма об изминении кинетического момента.

Спроектируем на оси, а затем перейдём к полярным координатам.

И обозначим ;

Последнее уравнение системы не содержит реакций и, следовательно даёт уравнение вращения твёрдого тела около неподвижной оси; интегрируя это уравнение найдём сначала угловую скорость , а затем и угол в функции времени t. Остальные пять уравнений содержат проекции неизвестных реакций A и B, число которых равно 6.

Если в левых частях этих уравнений положить , то ур.примут вид обычных урав.равновесия и будут служить для определения статических реакций.

Реакции, возник.при вращении назыв.динамическими. “? ” при каких условиях добавочных давлений на ось не возникает, т.е. когда динам.реакции равны статич.

Для этого необх.и дост., чтобы левые части ур-ий 1, 2, 4, 5 обращались в 0.

Следовательно -центр масс лежит на оси вращения, -ось вращения явл.главной центральной осью инерции.