Разложение в ряд Фурье периодических функций с общим периодом. разложение в ряд Фурье непериодических ф-ий.

Периодической функцией с периодом Т называется функция , если для неё выполняется равенство:

Пусть да на , с периодом 2

И удовлетворяет условиям Дерихле => может быть разложена в тригонометрический ряд, причём коэффициенты определяются по формулам:

А)Для четных периодич.:

Б)Для нечетных периодич:

Непереодических:

a) Если разложена в триг. ряд с любым периодом, то в правой части период 2

Если непрерывна и задана на всей числовой оси => она не может быть разложена в ряд Ф.

b) Пусть функция задана на с Т=2 , продолжим эту функцию на всю числ ось; в состав новой входит первоначальная ф на , если удовл усл Дирихле => может быть разложена в ряд Ф

c) Пусть функция задана на продолжим произвольно на (разложим по чёт/нечёт) функция может быть продолжена на бесчисл множеством способов и => можно получить бесчисл множ рядов, но все эти ряды на участке представляют

27.ряды Фурье для чёт/нечёт функций наз чёт, если при любом х наз нечёт, если

Свойства чёт и нечёт функций:

1. Произведение чёт на чёт или нечёт на нечёт функций есть функция чётная

2. Произведение чёт на нечёт есть функция нечётная

3. Если чётная =>

4. Если чётная =>

5. Если функция удовлетворяет условиям Дерике:

А)Для четных периодич.:

Б)Для нечетных периодич: