Главная страница Случайная страница КАТЕГОРИИ: АвтомобилиАстрономияБиологияГеографияДом и садДругие языкиДругоеИнформатикаИсторияКультураЛитератураЛогикаМатематикаМедицинаМеталлургияМеханикаОбразованиеОхрана трудаПедагогикаПолитикаПравоПсихологияРелигияРиторикаСоциологияСпортСтроительствоТехнологияТуризмФизикаФилософияФинансыХимияЧерчениеЭкологияЭкономикаЭлектроника |
Вывод основной формулы упругого режима
При разработке крупных месторождении или месторождений с обширными областями питания, находящихся под высоким начальным пластовым давлением, происходят длительные процессы перераспределения давления. Эти процессы обусловлены упругими свойствами пласта и жидкости, насыщающей его. Понижение давления в зоне разработки вызывает соответствующее расширение жидкости и сокращение объема пор. Вследствие сужения норовых каналов, а также расширения самой жидкости происходит вытеснение последней к скважинам. Хотя пористость и объем жидкости изменяются в небольших пределах, тем не менее в пластах, объемы которых значительны, влияние упругих свойств становится существенным. Иногда упругий запас, т. е. количество жидкости, которое можно получить за счет упругости породы и насыщающей ее жидкости, оказывается достаточным, чтобы полностью разработать нефтяную залежь. Как увидим ниже, это зависит главным образом от соотношения размеров области питания и запасов нефти, физических свойств коллектора и жидкости, насыщающей его, пластового давления и характера его изменения. Идея, указывающая на существование упругого режима, впервые была высказана в двадцатых годах нашего столетия II. Н. Стрижовым. Гидродинамическая теория этого режима появилась значительно позже. Впервые теория упругого режима была разработана в 1937 г. М. Маскетом, Р. Шилсюизом и У. Херстом. Однако, как после оказалось, она имела существенные недостатки и, в частности, в ней не учитывалось изменение объемной упругости пласта. Наиболее полно основы теории упругого режима пластов в Советском Союзе разработаны В. И. Щелкачевым. Им впервые получено основное дифференциальное уравнение движения сжимаемой жидкости в упругой пористой среде. Теория упругого режима основывается на предположении, что жидкость и среда — упругие тела, подчиняющиеся при деформации закону Гука, т. е. где ж — плотность жидкости в кг/м3; р — давление в Па; ж — коэффициент объемной упругости или коэффициент сжимаемости жидкости — величина, обратная модулю упругости жидкости, в Па-1; с — коэффициент объемной упругости породы — величина, обратная модулю упругости порового пространства, в Па-1; тэ — пористость коллектора (при текущем давлении р). Исходя из этого и других соображений, было получено исходное дифференциальное уравнение, необходимое для определения плотности ж или давления р при фильтрации сжимаемой жидкости в упругой среде: или приближенно где — оператор Лапласа; — коэффициент пьезопроводности в м2/с; t — время, отсчитываемое с начала работы пласта, в с. Уравнения (XII.1) и (XII.2) не учитывают влияние инерционных сил и изменение температуры в пласте. Позже были получены дифференциальные уравнения с учетом влияния сил инерции и с учетом изменения температуры пласта (неизотермическая фильтрация) Здесь [18] — коэффициент упругоемкости пласта в Па-1; = — оператор Гамильтона; * = ( с и ж — коэффициенты объемного температурного расширения скелета и жидкости, т0 — начальная пористость при начальном давлении р0); Т — температура жидкости в К. Если граничные условия не изменяются во времени, то правые части уравнений (XII.2)—(XII.4) будут равны нулю, и тогда получим уравнение установившегося движения несжимаемой жидкости в пористой среде, т. е. уравнение Лапласа Коэффициент пьезопроводности, входящий в уравнения (ХII.2—(ХII.4), где k — коэффициент проницаемости среды в м2; ж — коэффициент динамической вязкости жидкости в Па*с. Как видно из (ХII.7), пьезопроводность зависит от пористости тЭ, проницаемости k и коэффициентов объемной упругости жидкости ж и пористой среды с. Все эти параметры в условиях упруго-водонапорного режима не остаются постоянными. Пористость пласта тЭ зависит от изменения пластового давления и может быть представлена в виде[19] Проницаемость пласта также зависит от изменения давления: где ak — коэффициент изменения проницаемости; k0 — коэффициент проницаемости при начальном давлении р0. При понижении пластового давления проницаемость убывает, с повышением — увеличивается. Очевидно, наибольшая деформация породы, а следовательно, и изменение проницаемости наблюдается в призабойной зоне. Пренебрегая влиянием инерционных сил в (XII.4) и считая коэффициент пьезопроводности и постоянным, получим дифференциальное уравнение теплопроводности (XII.3) (уравнение Фурье), точное решение которого при определенных начальных и граничных условиях было дано Ван Эвердингеном и У. Херстом. Оно представлено в интегральной форме где J1(u) и Y1(и) — функции Бесселя первого порядка первого и второго рядов соответственно. В табл. XII.1 показаны значения интеграла р ( с) в зависимости от с, изменяющейся в пределах 0, 01-1000. При значениях выше указанного диапазона действительно решение для точечного стока и поэтому можно считать при с > 100 На рис. XII.1 сравниваются данные распределения давления, определенного по формулам (XII.10) и (XII.11). Пользуясь принципом суперпозиции, М. Маскет [6], по аналогии с решением X. С. Карслоу, показал, что для стока с постоянной интенсивностью G (t) существует зависимость: где ж — плотность жидкости в определяемой точке пласта в кг/м3; — начальная плотность жидкости в пласте в кг/м3; rс — радиус скважины в м; R — расстояние от источника до точки, в которой определяется плотность жидкости, в м; h — мощность пласта в м; G () — масса жидкости, получаемой из скважины, в кг/с; — время с начала изменения давления в точке, в которой определяется плотность жидкости, в с; t — время с момента пуска скважины в с; — время распространения волны давления от скважины до точки, в которой определяется плотность, в с; — функция Бесселя первого рода нулевого порядка от мнимого аргумента Формулу М. Маскета, справедливую при r с = 0 (точечный источник) и G (t) = const, И. А. Чарный преобразовал к удобному для расчетов виду, причем так, что rс 0 и G (t) const. Обозначим откуда Далее получим Разложим последнюю функцию в ряд Тейлора
и подставим значение G (т) в (XII.12). Тогда получим где
Теперь подставим значения G (t, и) в уравнение (XII.13), предварительно заменив через : Рассмотрим интегралы, входящие в каждое слагаемое последнего равенства. Так как то первый интеграл уравнения (XII.15). где - символ интегральной показательной функции- табулированной; С0 ()-i -величина, зависящая от и . При небольших значениях и величина С0 ()— i0 очень мала и ею можно пренебречь, тогда Далее, интегралы стремятся к пределу 1/v. С учетом того, что изменение давления в пласте или скважине при постоянной пористости тэ определяется зависимостью а пьезопроводность и G (t)/ = q(t), после подстановки их в (XII.15) получим
На стенке скважины R = r с. Откуда, как видно из (XII.14), = 1. В этом случае для небольших значений (< 0, 05), что соответствует большому t, приближенно можно считать где Э - константа Эйлера, равная 1, 781072; Здесь знак!! — обобщенный факториал (2п — 1)! = 1, 3, 5..., (2 - 1); (2п)!! = 2, 4, 6, 8..., (2 n). При = 1 значение i0 ничтожно мало. Пренебрегая им, получим
И тогда Учитывая, что при постоянном отборе q(t) = q0, из (XII.17) получим основную формулу упругого режима или из (XII.18)
При R=rc будем иметь:
где -параметр Фурье. Погрешность основной формулы (XII.21), выраженная в процентах по отношению к , получаемая при соответствующих вычислениях для различных моментов времени t:
Таким образом, если известны дебит скважины q0, ее радиус rс, гидропроводность и пьезопроводность пласта , то изменение давления в нем можно определить по формулам (XII.19) —(XII.21). Причем под скважиной в этом случае можно подразумевать любую окружность (например, контур нефтеносности), для которой известен дебит жидкости. Согласно формуле (XII.14), для небольших значений t это может соответствовать сравнительно большим значениям . Заметим, что для реальных скважин радиусом 0, 10—0, 15 м в непосредственной близости к ней значение через несколько секунд станет очень малым. Для укрупненных скважин этого может и не быть и тогда при определении понижения давления могут быть допущены погрешности. В таком случае более точные результаты получают по формуле В. Н. Щелкачева для определения понижения давления на стенке укрупненной скважины, которая эксплуатируется в бесконечном пласте с постоянным дебитом q0. Рассматривая месторождение как укрупненную скважину с суммарным дебитом и радиусом rс, равным радиусу контура нефтеносности, будем иметь:
где Y (fo') и 0 — функции, зависящие от параметра fo'; (fo' = — параметр Фурье); пЭ — число эксплуатационных скважин. По формуле (XII.22) получим результаты с меньшей погрешностью, чем по формуле (XII.19). Погрешность зависит от параметра Фурье. Так, при подсчетах понижения давления р на стенке укрупненной скважины по формуле (XII.22) она не превышает 1, 9%, если fo' > 10, и 7%, если fo' 0, 3, в то время как при определении по формуле (XII.19) погрешность достигает 5% при ; 9, 4% при fo' 5 и около 35% при fo' = 1. Темп изменения давления на забое возмущающей скважины при постоянном отборе жидкости из пласта неравномерный. В начальной стадии разработки происходит более быстрое понижение давления, а затем оно замедляется. Окончание процесса изменения давления может быть различным. Если в пласте имеется естественная область питания, способная компенсировать отбор жидкости из пласта, то к моменту, когда депрессионная воронка достигнет контура питания, давление в пласте стабилизируется. Если же пласт ограничен или отбор из пласта превышает возможность пополнения пластовой энергии, то понижение давления будет продолжаться и может стать ниже давления насыщения. На рис. XII.2 показана зависимость изменения давления во времени в пласте с упругим режимом при установленной критической депрессии, превышать которую нежелательно. В скважинах эта депрессия может быть связана с предельным давлением фонтанирования, а в пласте — с давлением насыщения. При увеличении депрессии по сравнению с критической может прекратиться фонтанирование или начаться выделение газа в пласте. Можно уменьшить или даже предотвратить понижение давления ниже критического путем уменьшения отбора жидкости из пласта (при этом понижение давления будет меньше, а сроки разработки возрастут) или путем поддержания давления, закачивая рабочий агент в пласт. Тогда линии ОА на рис. XII.2 будет соответствовать понижение давления за счет упругих сил, линии АС — при стабильной депрессии в процессе разработки пласта с поддержанием давления. Нежелательно с точки зрения технологии, чтобы понижение давления происходило по линии АВ. Очевидно, закачка рабочего агента должна компенсировать избыток понижения давления, указанный заштрихованной площадью АВС. Построение в масштабе теоретического графика изменения давления во времени позволяет определить момент начала повышения давления (точка А) и необходимый прирост давления в различные моменты времени (ординаты между прямой АС и кривой АВ). При эксплуатации группы скважин (рис. XII.3) с помощью метода суперпозиции можно получить расчетную формулу для определения давления в любой точке пласта М где рм — депрессия в точке М к моменту времени t; q — дебит скважины, находящейся на расстоянии от точки М, в м3/с;
— расстояние от точки М до скважины в м; t — время, прошедшее с начала разработки, в с; — время, прошедшее с начала разработки к моменту пуска скважины с дебитом q в с; остальные обозначения известны. Если в точке М расположена скважина, эксплуатирующая с дебитом q0, то к формуле (XII.23) следует добавить еще одно слагаемое рзаб, характеризующее изменение давления, вызванное работой этой скважины Если среди скважин месторождения есть нагнетательные, то в формуле (XII.23) перед дебитом этих скважин следует поставить знак минус, так как они вызывают уменьшение депрессии (то же самое, если в точке М расположена нагнетательная скважина). В процессе разработки залежи дебиты скважин могут изменяться. В этом случае формулы (XII.23) и (XII.24) остаются в силе, по увеличение дебита происходит вследствие как бы подключения новой эксплуатационной скважины с дебитом, равным разности нового и предыдущего, а уменьшение его — вследствие подключения новой нагнетательной скважины. Допустим, например, (рис. XII.4): — начало работы скважины с дебитом q1; — начало работы скважины с дебитом ; — начало работы скважины с дебитом ; — остановка скважины. Тогда, очевидно, депрессия в точке М к моменту времени t с начала разработки Любое изменение дебита, происходящее после пуска или остановки скважины, можно учесть по принципу суперпозиции. При большом числе скважин, эксплуатирующихся с переменным дебитом, гидродинамические расчеты становятся громоздкими. Объединение скважин в группы в зависимости от положения их на структуре, применение линейки Д. Г. Когана или номограмм М. В. Назаретова значительно облегчает подсчеты. При линейном расположении скважин (рис. XII.5) изменение давления в точке М, вызванное эксплуатацией скважин этого ряда, можно определить по формуле Н. С. Пискунова: где —удельный дебит, приходящийся на единицу длины ряда, в м3/с; ; Q — суммарный дебит ряда скважин в м3/с; 2 — расстояние между скважинами в м; d — длина перпендикуляра, опущенного из точки М, в м; а - длина отрезка от конца перпендикуляра до начала ряда (точка А) в м; — длина отрезка от конца перпендикуляра до конца ряда (точка В) в м. Интеграл, стоящий в формуле (XII.26), в конечном виде не берется. Его можно вычислить приближенно по параболической формуле Симпсона[§§§§§]
При расчетах по формуле (XII.27) удобно пользоваться табл. XII.2
|