Главная страница Случайная страница КАТЕГОРИИ: АвтомобилиАстрономияБиологияГеографияДом и садДругие языкиДругоеИнформатикаИсторияКультураЛитератураЛогикаМатематикаМедицинаМеталлургияМеханикаОбразованиеОхрана трудаПедагогикаПолитикаПравоПсихологияРелигияРиторикаСоциологияСпортСтроительствоТехнологияТуризмФизикаФилософияФинансыХимияЧерчениеЭкологияЭкономикаЭлектроника |
Построение области устойчивости
Рассмотрим процедуру построения области устойчивости для системы с П, И и ПИ – регуляторами. В случае ПИ регулятора
область устойчивости строится на плоскости в координатах К1 и К0. Передаточную функцию объекта (4) запишем следующим образом
Рассмотрим несколько случаев.
Передаточная функция разомкнутой системы Запишем характеристический полином замкнутой системы
где . Полином (10) имеет третий порядок, коэффициенты – постоянные и заведомо положительные величины (см. формулы (8)). Свободный член величина переменная и зависит от коэффициента усиления регулятора . Изменяя можно влиять на устойчивость и качество регулирования системы. С учетом этого, условия устойчивости по критерию Гурвица записываются следующим образом (12) Подставим в последние уравнения , тогда (13) и, разрешая их относительно , получим условия устойчивости (14) Критические значения коэффициента усиления получим, если знаки неравенств в (13) заменим на равенства, тогда , (15) Первое значение в формулах (15) соответствует так называемой апериодической границе устойчивости (). При этом как легко видеть имеет нулевой корень. Второе условие определяет колебательную границу устойчивости. В системе существуют незатухающие колебания, а имеет пару чисто мнимых корней Как следует из полученных формул коэффициент усиления регулятора (или, что эквивалентно, разомкнутой системы) ограничен сверху и снизуусловиями устойчивости. Это свойство справедливо практически для всех систем.
Передаточная функция регулятора (16) Передаточная функция разомкнутой системы (17)
Характеристический полином замкнутой системы или (18) где . (19) Полином (18) имеет четвертый порядок. Свободный член величина переменная и зависит от коэффициента усиления регулятора . Остальные коэффициенты, как и в случае с П регулятором, постоянные и заведомо положительные величины (см. формулы (19)). Изменяя можно влиять на устойчивость и качество регулирования системы. Условия устойчивости по критерию Гурвица для системы 4-го порядка с учетом сделанных замечаний записываются следующим образом [1, 2] , (20) или после подстановки и , (21) Разрешая полученные неравенства относительно , найдем область устойчивости (22) Заменив в (21) знаки неравенств на равенства найдем критические значения и (23) И в этом случае коэффициент усиления ограничен сверху и снизу из условий устойчивости
Передаточная функция регулятора (1) Передаточная функция разомкнутой системы (24) Запишем характеристический полином замкнутой системы или (25) где , (26) Полином (25) имеет четвертый порядок. Свободный член и величины переменные и зависят от коэффициентов усиления регулятора и . Остальные коэффициенты постоянные и заведомо положительные величины (см. формулы (26)). Изменяя и можно влиять на устойчивость и качество регулирования системы. Условия устойчивости (20) после подстановки и записываются следующим образом , (27) Разрешая последние неравенства относительно , получим , (28-1) (28-2) Примерный вид области устойчивости в плоскости К1, К0 приведен на рис. 2.
Заменив в уравнениях (28) знаки неравенства на равенства получим уравнения граничных точек области устойчивости. Область устойчивости на рис.2 согласно уравнениям (28) ограничена снизу осью К1 (К0 > 0) и параболой (28-2) сверху. Отрезок оси 0В есть область (отрезок) устойчивости И – регулятора (K1=0). Точки 0 и В отвечают критическим значениям К0 и определяются формулами (23). Любой отрезок параллельный оси К0 в области устойчивости есть отрезок устойчивости относительно К0 при некоторым фиксированном значении K1. Отрезок АС оси K1 есть отрезок устойчивости П - регулятора (К0=0). Точки А и С отвечают критическим значениям К1 и определяются формулами (15). При построении области устойчивости целесообразно предварительно определить точки пересечения кривой с осями координат (К0 = 0, К1 = 0 – точки А, С и В соответственно). Поскольку условие К0 = 0 соответствует пропорциональному регулятору Wp(s) = K1, то точки прямой К0 = 0 на рис. 2 могут входить в область устойчивости системы.
|