Параметрически заданные функции и их дифференцирование.

Плоские кривые часто задают уравнениями вида

где изменяется на некотором отрезке . Аргумент функций и при этом называют параметром а сам способ задания кривой параметрическим. Чтобы построить кривую, заданную параметрически, нужно задать несколько значений параметра , вычислить для них соответственные и и точки с координатами плавно соединить (при условии непрерывности функций и ).

ПРИМЕРЫ

1) , .

Это параметрическое задание окружности.

2) , .

Составим таблицу значений и для некоторых .

t 0

x a 0 – a 0 a

y 0 a 0 – a 0

Кривая называется астроидой.

Как известно, не всякая кривая является графиком функции. Например, астроида не является графиком функции. Рассмотрим условия, при которых кривая

, ,

будет графиком функции.

Предположим, что функция имеет обратную на . Тогда на этом отрезке будет определена сложная функция . Если суперпозицию и обозначить через , то говорят, что уравнения определяют на функцию , заданную параметрически.

Если при этом функции и дифференцируемы на , то по теореме о дифференцировании сложной функции функция будет дифференцируемой на , причем

Например, найдем производную функцию от функции , заданной параметрически

, .

Решение: .