Поняття первісної

Загальна форма дослідження функцій та побудова їх графіків

Щоб дослідити функцію y=f(x) та побудувати її графік необхідно:

1) знайти область визначення функції, тобто множину всіх точок для яких існує значення функції;

2) знайти (якщо вони існують) точки перетину графіка з координатними осями. Для цього потрібно у рівняння y=f(x) підставити x=0, а також розв'язати рівняння f(x)=0 для відшукання точок перетину з віссю абсцис Ox;

3) дослідити функцію на періодичність, парність і непарність. У деяких випадках це можна зробити візуально за самим виглядом функції, якщо ні - то проводимо перевірку:
1. f(-x)=f(x) – функція парна;

2. f(-x)=-f(x) – функція непарна;

3. f(x+T)=f(x) – функція періодична, T – період функції.

Таким чином, якщо маємо парну функцію y=f(x), то достатньо побудувати її для додатніх значень x> 0, після чого відобразити симетрично відносно осі абсцис y на решту області. У випадку непарної функції графік буде симетричний відносно початку координат. Для прикладу, якщо маємо непарну функцію, графік якої належить першій чверті другу половину отримаємо поворотом першої чверті на 180 градусів (третя чверть).

Періодичними є переважно фукнкції, складені з простих тригонометричних та деякі параметрично задані функції.

4) знайти точки розриву та дослідити їх (такими точками є краї інтервалів визначення функції);

5) знайти інтервали монотонності, точки екстремумів та значення функції в цих точках;

6) знайти інтервали опуклості, вгнутості та точки перегину;

7) знайти асимптоти кривої;

8) побудувати графік функції.

Первісна функція. Невизначений інтеграл. Властивості невизначеного інтеграла. Таблиця невизначених інтегралів

Означення. Нехай функція F — первісна для f на J. Невизначеним інтегралом від функції f називається сукупність усіх первісних цієї функції, тобто вираз

де C ∈ R — довільна стала.

Функція f називається підінтегральною функцією, f(x)dx — підінтегральним виразом, C — сталою інтегрування, x — змінною інтегрування.

З геометричної точки зору невизначений інтеграл — це сукупність (сім'я) ліній F(x) + C (див. Рис.).

Властивості невизначеного інтеграла

З означень первісної та невизначеного інтеграла випливають наступні властивості (за умов існування первісних та похідних на інтервалі J):

Поняття первісної

Означення. Функція F(x) на заданому проміжку називається первісною для функції f(x), для всіх x з цього проміжку, якщо F'(x)=f(x).

Операція знаходження первісної для функції називається інтегруванням. Вона є оберненою до операції диференціювання.

Теорема. Всяка неперервна на проміжку функція (x) має первісну на цьому проміжку.

Теорема (основна властивість первісної). Якщо на деякому проміжку функція F(x) є первісною для функції f(x), то на цьому проміжку первісною для f(x) буде також функція F(x)+C, де C довільна стала.

З цієї теореми випливає, що коли f(x) має на заданому проміжку первісну функцію F(x), то цих первісних безліч. Надаючи C довільних числових значень, кожного разу діставатимемо первісну функцію.

Для знаходження первісних користуються таблицею первісних. Вона отримується із таблиці похідних.