Некоторые свойства жордановой матрицы

1. Характеристический многочлен жордановой матрицы равен произведению характеристических многочленов составляющих ее жордановых клеток.

2. Диагональными элементами жордановой матрицы являются ее характеристические числа или собственные значения, что для комплексной матрицы одно и то же.

3. Сумма размерностей всех клеток, соответствующих одному и тому же собственному значению, равна кратности этого собственного значения.

4. Число клеток, соответствующих одному и тому же собственному значению, равно количеству линейно независимых собственных векторов с этим собственным значением.

5. Число клеток порядка не ниже , соответствующих данному собственному значению, равно количеству линейно независимых собственных векторов с этим собственным значением, имеющих -е присоединенные векторы.

Доказательства этих свойств не приводим.

Пример1. Найдем жорданову нормальную форму матрицы

.

▼ 1. Составляем характеристический многочлен матрицы А:

.

Таким образом, А имеет единственное собственное значение , причем кратность его равна 4.

2. Находим собственные векторы:

Общее решение системы:

. (4.63)

Число линейно независимых собственных векторов равно двум, значит, жорданова форма имеет две клетки.

3. Находим присоединенные векторы:

Система (4.64) имеет решения при любых значениях и , поэтому любой собственный вектор имеет присоединенный. Таким образом, обе клетки имеют второй порядок, и жорданова форма выглядит так:

. (4.65)

4. Матрица Т, приводящая А к виду , – это матрица перехода от исходного базиса к базису, в котором матрица оператора совпадает с . Из (4.65) видно, что , т. е. и – векторы собственные, а и – присоединенные к ним. Чтобы найти и , записываем фундаментальную систему по решению (4.63): . Векторы и – частные решения системы (4.64) при соответствующих значениях и , т. е. – решение системы

,

а – системы

.

Например, . Таким образом,

.▲