Главная страница Случайная страница КАТЕГОРИИ: АвтомобилиАстрономияБиологияГеографияДом и садДругие языкиДругоеИнформатикаИсторияКультураЛитератураЛогикаМатематикаМедицинаМеталлургияМеханикаОбразованиеОхрана трудаПедагогикаПолитикаПравоПсихологияРелигияРиторикаСоциологияСпортСтроительствоТехнологияТуризмФизикаФилософияФинансыХимияЧерчениеЭкологияЭкономикаЭлектроника |
Получение основной системы разрешающих уравнений.
Минимизируя функцию Э(q) по всем элементам вектора [ q ]всей области, получаем: Учитывая, что Э(U) = (3) где суммирование производится по всем конечным элементам. Для линейных задач функционал Э(U) является квадратичной функцией от U и ее производных, и следовательно, e -ый член правой части (3) принимает вид: (4) где [ k ]( e ) - квадратная матрица размером r ´ r (r - число узловых неизвестных e -го элемента) Коэффициенты этой матрицы определяются свойствами среды. Для нелинейных задач матрица [ k ]( e ) является функцией вектора { q ( e )} - вектор узловых неизвестных. Вектор { p ( e )} имеет размер r, он характеризует внешнее воздействие на e -ый элемент. С учетом (4) уравнение можно переписать: (5) где [ K ¶]= - квазидиагональная матрица порядка r ´ M (М - число элементов), {p} = { {p}(1) {p}(2).....{p}(m)} - вектор размером r ´ M. Уравнение (5) записано в местной системе координат. В целях дальнейших упрощений целесообразно от местной системы осуществить переход к так называемой о бщей системе координат. Введем для S - ой узловой точки вектор неизвестных Совокупности этих векторов образуют вектор основных неизвестных в общей системе координат где F - число узлов, N - число неизвестных по всей области. Между векторами { q } и существует некоторая связь { q }= [ Н ] где [ Н ] - булева матрица размером M ´ N. Ее структура определяется геометрией элемента, классом краевой задачи и принятым порядком нумерации для элементов векторов { q } и . Если принять в векторе {р}(e) тот же порядок нумерации компонентов, что и в векторе {q}(e), то умножив (5) на матрицу [H] T, с учетом зависимости (6), получим: + (7) где = [ H ]T [К¶] [ H ] - общая матрица коэффициентов при основных неизвестных в общей системе координат для всей области. Размер квадратной матрицы равен N ´ N. [ H ]T - вектор-столбец размером N. Его элементы характеризует внешнее воздействие на всю область W. Полученное матричное уравнение (7) и есть искомая система алгебраических уравнений для определения основных узловых неизвестных .
|