Главная страница Случайная страница КАТЕГОРИИ: АвтомобилиАстрономияБиологияГеографияДом и садДругие языкиДругоеИнформатикаИсторияКультураЛитератураЛогикаМатематикаМедицинаМеталлургияМеханикаОбразованиеОхрана трудаПедагогикаПолитикаПравоПсихологияРелигияРиторикаСоциологияСпортСтроительствоТехнологияТуризмФизикаФилософияФинансыХимияЧерчениеЭкологияЭкономикаЭлектроника |
IV. Решение некоторых типовых заданий. 1. Задано отображение f: (–1;+¥) R, f(x)=ln(x+1).
1. Задано отображение f: (–1; +¥) R, f(x)=ln(x+1). a. Определить, является ли отображение инъективным. b. Определить, является ли отображение сюръективным. c. Определить, является ли отображение биективным. d. Найти образ отрезка . e. Найти прообраз отрезка . Решение. а) Пусть , тогда ; и ввиду возрастания логарифмической функции , следовательно, отображение инъективно; b) Из равенства y=ln(x+1) мы видим, что для любого значения yÎ R существует прообраз , а именно x=ey– 1, таким образом, отображение сюръективно. c) Так как отображение инъективно и сюръективно, то оно является биективным. d) В силу монотонности отображения достаточно найти образы концов заданного отрезка: ; . Итак, образом отрезка в отображении является , то есть . e) В силу монотонности отображения достаточно найти прообразы концов заданного отрезка: ; . Итак, прообразом отрезка является , 2. Задано отображение f: R R, a) Определить, является ли отображение инъективным. b) Определить, является ли отображение сюръективным. c) Определить, является ли отображение биективным. d) Найти образ отрезка . e) Найти прообраз отрезка Решение. a) Для определения инъективности исследуем функцию на монотонность. Вычислим производную функции : . Производная определена и непрерывна при и обращается в нуль при . При и при производная положительна, а, следовательно, функция возрастает. При производная отрицательна, а, следовательно, функция убывает. График функции меняет направление с возрастания на убывание и обратно (можно даже построить его эскиз), следовательно, найдутся два значения и такие, что , а (например, ). Таким образом, отображение неинъективно. b) График функции y=f(x) принимает все значения от –¥ до +¥, поэтому можно утверждать что для любого y = найдётся соответствующее значение . Таким образом, отображение сюръективно. c) Так как отображение неинъективно, то оно не является биективным. d) На отрезке только одна точка экстремума графика функции . Это точка минимума. Поэтому в этой точке отображение примет наименьшее значение. Для нахождения наибольшего значения подставим значения концов отрезка в формулу f(x): ; ; . Образы элементов отрезка расположатся между наименьшим и наибольшим значениями, поэтому образом отрезка является отрезок (то есть ). e) Для нахождения прообраза отрезка воспользуемся результатами, полученными в предыдущих пунктах. , если , причём функция принимает неотрицательные значения при и при . Значение 2 функция принимает при , причём на отрезке отображение инъективно. Итак, прообразом отрезка является множество чисел то есть . Примечание. Данную задачу проще решить, построив график отображения y=f(x). 3. «Декартово произведение множеств».
|