Похідна. Механічний і геометричний сенс похідної.

Нехай є неперервна функція аргументу , визначена на проміжку і нехай - якась точка з цього проміжку. Дамо аргументу приріст (додатний або від’ємний). Функція одержить приріст

При нескінченно малому приріст є також нескінченно малий.

Границя, до якої прямує відношення при , тобто

сама є функцією від аргументу . Ця функція називається похідною від функції і позначається або . Таким чином, маємо визначення:

Похідною функції називається границя (якщо вона існує), до якої прямує відношення приросту функції до відповідного нескінченно малого приросту аргументу.

Похідні деяких простіших функцій.

1. Похідна сталої дорівнює нулю:

Фізичний сенс: швидкість нерухомої точки дорівнює нулю.

Геометричний сенс: кутовий коефіцієнт прямої дорівнює нулю.

2. Похідна незалежної змінної дорівнює 1:

Геометричний сенс: кутовий коефіцієнт прямої дорівнює одиниці.

Фізичний сенс: якщо шлях, пройдений тілом, числено дорівнює часу знаходження у русі, то швидкість числено дорівнює одиниці.

Розглянемо деякі приклади, у яких шукати похідну будемо саме за означенням.

Приклад 1. Знайти похідну функції Маємо:

Приклад 2. Знайти похідну функції (аргумент функції виражається у радіанній мірі). Приріст функції дорівнює:

Таким чином,