Задачи повышенной трудности

1. Доказать, что множество всех центров окружностей, касающихся данной окружности и проходящих через фиксированную точку, лежащую вне данной окружности, есть гипербола.

2. Доказать, что директриса гиперболы проходит через ортогональную проекцию соответствующего фокуса на асимптоту.

3. Доказать, что если асимптоты гиперболы имеют уравнения , то уравнение этой гиперболы можно записать в виде .

4. Докажите, что площадь параллелограмма, одна из вершин которого лежит на гиперболе, а две стороны – на асимптотах, есть величина постоянная, равная половине произведения полуосей гиперболы.

5. Доказать, что для любой прямой, проходящей через один из фокусов гиперболы с центром O и пересекающей линию в точках M и N, сумма не зависит от выбора этой прямой.

Домашнее задание

1. Написать уравнения асимптот и директрис гиперболы, заданной в полярной системе координат уравнением .

2. Написать уравнение гиперболы, асимптоты которой заданы уравнениями а директрисы – уравнениями .

3. Доказать, что эллипс и гипербола, имеющие общие фокусы, пересекаются под прямым углом.

Тема 3.4. Парабола

Литература: [1], гл. 6, §1, стр. 114–119; [7], гл. 4, § 29, стр. 100–103.

Основные сведения

Параболой называется множество всех точек плоскости, расстояние от каждой из которых до данной точки F равно расстоянию до данной прямой d, не проходящей через точку F (Рис. 28). Точка F называется фокусом параболы, а прямая d – директрисой.

Расстояние от фокуса до директрисы называется фокальным параметром параболы и обозначается через p.

Уравнение называется каноническим уравнением параболы.

Точка пересечения параболы со своей осью симметрии называется вершиной параболы.

Задачи

1. Написать уравнение параболы в репере , если в этом репере заданы координаты фокуса и уравнение директрисы: х+3у+6=0. Определить параметр параболы.

2. На прямой, уравнение которой в репере 8 х –3 у +6=0, найти точку, которая одинаково удалена от прямой : х –5=0 и точки А (–3, 2).

3. Высота параболической арки равна h, а ширина ее основания равна . Найти параметр параболы.

4. Прямая х –3 у +9=0 касается параболы . Найти p.

5. Найти расстояние между параболой и прямой 4 х +3 у +46=0.

6. Найти фигуру, образованную основаниями перпендикуляров, опущенных из фокуса параболы на касательные к этой параболе.

7. Доказать, что фокус параболы и точки касания двух касательных к параболе, проведенных из любой точки директрисы, лежат на одной прямой.

8. Доказать оптическое свойство параболы: всякая касательная к параболе составляет равные углы с фокальным радиусом точки и с лучом, проходящим через точку касания и сонаправленным с ее осью.

9. Найти множество центров всех окружностей, походящих через данную точку А и касающихся данной прямой l.

10. На чертеже изображена парабола. Пользуясь циркулем и линейкой, построить прямую, параллельную ее главному диаметру.