С помощью комплексных величин

Любое комплексное число можно изобразить на комплексной плоскости точкой с радиусом-вектором (рис. 3.7) и представить в показательной, тригонометрической и алгебраической формах записи:

, (3.7)

где —модуль комплексного числа;

аргумент комплексного числа;

a — вещественная часть комплексного числа;

b — мнимая часть комплексного числа.

Если , т. е. если аргумент комплексного числа яв­ляется линейной функцией времени, то комплексную функцию можно записать в виде

. (3.8)

Графическое представление комплексной функции (t) анало­гично представлению гармонических величин вращающимися вре­менными векторами (см. рис. 3.5).

Мнимая часть выражения (3.8) представляет собой функцию, изменяющуюся по закону синуса, а вещественная часть — функ­цию, изменяющуюся по закону косинуса. А так как любой гармо­нический процесс можно представить как в виде синусоиды, так и в виде косинусоиды, то любую гармоническую величину: ток i, напряжение и и э.д.с. е — можно представить вещественной или мнимой частью комплексной функции (t) (3.8), у которой модуль равен амплитуде, а аргумент — фазе синусоиды или косинусоиды. Например:

i (t) = I_m sin (ω t + ψ) = Im {I_me^{j(ω t}+^ψ)};

i (t) = I_m сos (ω t + ψ) = R_e {I_me^{j(ω t+ψ )}}.

Такую запись называют комплексной или символической фор­мой записи гармонических колебаний.

Комплексную функцию Ì _m (t) = I_me^{j(ω t+ψ)}, у которой мо­дуль и аргумент равны соответственно амплитуде и аргументу дан­ного синусоидального тока, называют комплексным мгновенным синусоидальным током.

Выделим в комплексном мгновенном синусоидальном токе постоянную часть и часть, зависящую от времени:

Постоянную часть комплексного мгновенного синусоидального тока = I_me^jψ называют комплексной амплитудой. Комплекс-

ная амплитуда представляет собой комплексное число, модуль ко­торого равен амплитуде синусоидального тока, а аргумент — его начальной фазе.

Функцию e^{jω t} называют оператором вращения. Это комплекс­ная функция, модуль которой равен единице, а аргумент линейно зависит от времени. Точка комплексной плоскости, изображающая эту функцию, непрерывно перемещается по окружности единичного

радиуса с центром в начале координат (рис. 3.8). Это перемещение происходит с постоянной угловой скоростью ω в направлении, об­ратном направлению вращения часовой стрелки, от начального положения, расположенного на вещественной оси.

Комплексную величину , где I = I _m/ , называют комплексным действующим синусоидальным током или просто комплексным током. Комплексный ток имеет такой же аргумент, как и комплексная амплитуда, а модуль меньший, чем у комплексной амплитуды, в раз.

Если известна комплексная амплитуда тока или комплекс­ный ток , то оказываются известными амплитуда или действую­щее значение и начальная фаза тока. Тогда, предполагая извест­ной ω, можно записать мгновенное значение тока. Точно так же, зная мгновенное значение тока, можно записать комплексную амплитуду и комплексный ток. Поэтому говорят, что каждая из величин: комплексный ток , комплексная амплитуда и комп­лексный мгновенный синусоидальный ток изображают (представляют) ток или являются изображениями тока.

Пример 3.1.

По известному комплексному току =(6+j8)A написать выражение для его мгновенного значения.

Решение.

A; A;

следовательно,

i(t) = 14, 1 sin(ω t+53°7) A.

Пример 3.2.

Найти комплексную амплитуду и ко м плексный ток, если е г о мгновенное значение описывается выражением i(t)=14, 1 sin(ω t+30°).

Решение.

= 14, 1 e^{j 3O°}A; I = I _m/ = 14, 1/ = 10 а; = 10 e^{j3 0°}А.