Главная страница Случайная страница КАТЕГОРИИ: АвтомобилиАстрономияБиологияГеографияДом и садДругие языкиДругоеИнформатикаИсторияКультураЛитератураЛогикаМатематикаМедицинаМеталлургияМеханикаОбразованиеОхрана трудаПедагогикаПолитикаПравоПсихологияРелигияРиторикаСоциологияСпортСтроительствоТехнологияТуризмФизикаФилософияФинансыХимияЧерчениеЭкологияЭкономикаЭлектроника |
Замечания.
Размерность пространства, состоящего только из одного нулевого вектора, равна нулю. Такое пространство называется тривиальным. Если в линейном пространстве существует любое число линейно независимых векторов, то такое пространство называется бесконечномерным. Определение. Упорядоченная система векторов e1, e2, …, en Î X называется базисом в X, если система векторов e1, e2, …, en линейно независима; любой вектор x пространства X может быть представлен в виде
Выражение называется разложением вектора x по базису e1, e2, …, en. Коэффициенты ξ 1, ξ 2, …, ξ n в разложении векторапо данному базису определяются однозначно. 7…. (2) (Обратите внимание на нумерацию коэффициентов!) Каждое равенство в (2) можно записать в матричной форме, если мы формально воспользуемся правилом умножения строки на столбец. Пусть – строка длины , элементами которой являются векторы старого базиса. Аналогично, – вектор–строка нового базиса. Будем рассматривать эти строки как матрицы соответствующих размеров и производить с ними действиякак с числовыми матрицами. (Такие действия можно обосновать.) Тогда, , . Если мы обозначим столбец координат вектора через : , то последнее равенство можно записать в виде: , а всю систему равенств (2) – в виде: , где . Таким образом, равенства (2) в матричной форме записи имеют вид: . (3) Такая форма записи позволяет значительно облегчить выкладки. Определение. Матрица называется матрицей перехода от старого базиса к новому базису . Матрицу перехода от базиса к базису мы обозначать буквой С или или . В этих обозначениях равенство (3) принимает вид: Свойства матрицы перехода Лемма. Пусть А и В – две матрицы размера над полем K. Если для любого столбца выполняется равенство , тогда . Доказательство. Пусть – столбцы матрицы А, – столбцы матрицы В, – канонический базис пространства столбцов . Подставляем в равенство вместо столбца Х столбцы канонического базиса. Получаем равенство . Легко проверить, что , верны равенства и . Отсюда, , , а значит и , ч.т.д. Лемма доказана. Теорема. Пусть , , – три базиса произвольного векторногопространства . Тогда . (9) Доказательство. Пусть – произвольный вектор, , и –столбцы его координатотносительно базисов , , соответственно. Тогда по теореме предыдущего параграфа, справедливы равенства: , , . Подставляя второе из этих равенств в первое, получаем: , откуда следует, что . Так как мы взяли произвольный вектор , то столбец его координат может быть любым столбцом из пространства столбцов . Применяя лемму, получаем равенство . Теорема доказана. Следствие. Матрица перехода является обратимой. Доказательство. Пусть , – произвольные базисы векторного пространства V. По формуле (9) находим: , где вместо базиса мы взяли базис . Легко видеть из определенияматрицы перехода, что матрица перехода от базиса к этому же базису является единичной, т.е. и мы имеем: . Аналогично получаем . Отсюда следует, что , а , ч.т.д. 8….
|