VII. Побудова взаємного перетину поверхонь за допомогою січних площин

Рис. 9.28.

Цей спосіб доцільно використовувати в тих випадках, коли проецюючі площини або площини рівня утворюють в перерізі з поверхнями графічно прості лінії, тобто прямі або кола.

Задача 9.6. Побудувати лінію перетину поверхні конуса зі сферою (рис. 9.28).

Розглянемо приклад побудови лінії перетину двох поверхонь – сфери і конуса (рис. 9.28), площина симетрії яких Σ паралельна площині проекцій П₂. Враховуючи властивості і положення заданих поверхонь, застосуємо в даному випадку січні площини горизонтального рівня. Ці площини перетинають обидві поверхні по колах, взаємний перетин яких і визначає точки, що належать лінії перетину поверхонь. Якщо провести декілька допоміжних січних площин, можна визначити необхідну кількість цих точок. Але спочатку слід побудувати опорні (характерні) точки, тобто вищу і нижчу, а також точки видимості. Визначення цих точок дозволяє бачити, в яких межах розташовані проекції лінії перетину, і де між ними необхідно побудувати проміжні точки.

Нижча точка 4(4₁, 4₂) і вища точка 5(5₁, 5₂) визначаються, як точки перетину головного меридіана сфери f (f₁, f₂) з лівою обрисною твірною конуса SL(S₁L₁, S₂L₂). Для визначення точок видимості крізь екватор сфери проведено січну площину Г(Г₂). Ця площина перетинає конус по колу а(а₁, а₂), сферу по екватору h(h₁, h₂), який є теж колом. Перетин горизонтальних проекцій цих кіл дає горизонтальні проекції 6₁ і 7₁ шуканих точок, їх фронтальні проекції 6₂ і 7₂ визначаються за їх належністю до січної площини Г(Г₂). Так само, за допомогою січних площин Г'(Г'₂) і Г" (Г" ₂) визначаються проміжні точки 1(1₁, 1₂), 2(2₁, 2₂), 8(8₁, 8₂), 9(9₁9₂).

Сполучаємо фронтальні і горизонтальні проекції цих точок та одержуємо проекції шуканої лінії перетину двох поверхонь. На горизонтальній проекції слід врахувати видимість, на ділянці від 6₁ до 8₁, до 4₁ далі до 9₁ і 7₁ лінія перетину буде невидимою.

9.6.3. Побудова лінії перетину поверхонь за допомогою концентричних січних сфер

Рис. 9.29.

Якщо центр січної сфери знаходиться на осі якої-небудь поверхні обертання, то сфера співвісна з цією поверхнею і в їх перетині виходять кола (рис. 9.29). З цього можна зробити висновок, що спосіб концентричних січних сфер використовується в тому випадку, коли обидві поверхні, що перетинаються є поверхнями обертання, а їх осі перетинаються та паралельні будь-якої площині проекцій. Тоді поверхня січної сфери, центр якої співпадає з точкою перетину осей двох поверхонь обертання, перетне кожну з них по колу, які проецюються у вигляді відрізків прямих і перетинаються в точках, які належать лінії перетину цих поверхонь. Слід підкреслити, що найменший діаметр повинен бути у сфери, яка дотикається обох поверхонь обертання, або дотикається до однієї поверхні та перетинає другу.

Розглянемо побудову лінії перетину поверхонь конуса і циліндра (рис. 9.30).

Осі цих поверхонь перетинаються в точці О(О₁, О₂) і паралельні площині проекції П₂. Ця точка і буде центром січних сфер. Вищими точками будуть точки 1(1₁, 1₂) і 3(3₁, 3₂), нижчими – 2(2_1, 2₂) і 4(4₁, 4₂). Вони визначаються, як точки перетину обрисних твірних цих поверхонь.

Рис. 9.30.

Тепер слід визначити радіуси максимальної і мінімальної сфер, придатних для знаходження точок, які належать лінії перетину. Радіус максимальної сфери R_max дорівнює відстані від центра О (О₂) до

найбільше віддаленої точки обрисних твірних заданих поверхонь, в даному випадку до точки 2(2₂). Радіус мінімальної сфери R_min – це сфера, що дотична до конічної поверхні. Вона торкається конуса по колу а(а₁, а₂) та перетинає циліндр по колах с(с₂) і с'(с₂'). Перетин фронтальної проекції а₂ з фронтальними проекціями с₂ і с'₂ цих кіл визначає фронтальні проекції А₂, А'₂, В₂ і В'₂ точок, що належать лінії перетину заданих поверхонь. Їх горизонтальні проекції А₁, А'₁, В₁ і В'₁ знаходяться на горизонтальній проекції а₁ кола а, яке на площину П₁ проецюється в натуральну величину. Так само в перетині поверхонь сферами других радіусів, величина яких лежить в межі від R_min до R_max, можна знайти ще декілька точок. Точками видимості на горизонтальній проекції будуть точки N, N' і К, К' (їх горизонтальні проекції N₁, N'₁, К₁ і К'₁). Слід звернути увагу на те, що фронтальна проекція лінії перетину 1₂ С₂ N₂ М₂ 2₂, а також 3₂ Е₂ К₂ 4₂ являє собою нерівносторонню гіперболу і буде видимою. Її горизонтальна проекція на ділянці від N₁ до 2₁ і далі до N'₁, а також від К₁ до 4₁ і далі до К'₁ буде невидимою.