Главная страница Случайная страница КАТЕГОРИИ: АвтомобилиАстрономияБиологияГеографияДом и садДругие языкиДругоеИнформатикаИсторияКультураЛитератураЛогикаМатематикаМедицинаМеталлургияМеханикаОбразованиеОхрана трудаПедагогикаПолитикаПравоПсихологияРелигияРиторикаСоциологияСпортСтроительствоТехнологияТуризмФизикаФилософияФинансыХимияЧерчениеЭкологияЭкономикаЭлектроника |
Аппроксимация переходной функции решением дифференциального уравнения для системы без запаздывания.Стр 1 из 18Следующая ⇒
Графические методы построения динамических моделей.
Аппроксимация переходной функции решением дифференциального уравнения для системы без запаздывания.
При нанесении на вход объекта единичного скачкообразного возмущающего воздействия X(t)=1 получают график переходной функции Y(t) (рис. 5). Передаточная функция объекта, представляющего собой, например, апериодическое звено I-го порядка, имеет вид: W(P)=k/(T*P+1) (4.1.)
где T – постоянная времени объекта; k=y() - коэффициент усиления; y() - установившееся значение выходной величины. Этой передаточной функции соответствует дифференциальное уравнение: T* +y(t)=k*x(t) (4.2.) решение которого может быть записано в виде y(t)=k*x(t)*(1-e ) (4.3.)
Постоянная времени Т определяется из графика переходного процесса. Для этого надо провести касательную к кривой y(t) в начале координат; отрезок по оси времени от нуля до точки пересечения касательной и линии y=y() равен Т.
Постоянную времени Т можно определить также, учитывая, что y(T)=0.63*y(). Для этого по графику переходного процесса находят значение t=T, при котором y(t)=0.63*y(). Аппроксимация переходной функции решением дифференциального уравнения для системы с запаздыванием.
Аппроксимирующая передаточная функция для системы первого порядка с запаздыванием имеет вид:
W(P)= (4.4.)
а решение линейного дифференциального уравнения первого порядка с запаздыванием будет
y(t)=0; 0 (4.5.) y(t)=k*x(t)*(1- ); t
где Т - постоянная времени; - время запаздывания; К - коэффициент усиления. Интерполяционный метод определения параметров Т и заключается в следующем. На нормированной кривой переходного процесса, у которой по оси ординат откладывают величину y(T)/y(), выбирают две точки А и В (рис. 6.)
Желательно, чтобы точка А была расположена вблизи точки перегиба кривой, а ордината y(А) равнялась 0.8-0.9. Рассматривая точки А и В как интерполяционные узлы кривой, можно определить параметрами переходной функции:
(4.6.)
(4.7.) Другой способ аппроксимации переходной функции, являющийся развитием метода Орманна, заключается в следующем. По нормированной кривой y(t) определяется время t 7 являющееся корнем уравнения k*x(t)*(1- )=0.7
и время t , удовлетворяющее равенству y(t )=0.33. Далее вычисляются время запаздывания : (4.8.) и постоянная времени Т: (4.9.) Для проверки полученных результатов сравнивают ординаты заданной переходной функции при t , с соответствующими значениями ординат аппроксимирующей кривой: h4 = 0, 33; h8 = 0, 55 и h20 = 0, 87
Аппроксимация переходной функции решением дифференциального уравнения второго порядка. Передаточная функция для объекта второго порядка записывается в виде (4.10) Переходная функция объекта может быть аппроксимирована решением линейного дифференциального уравнения второго порядка: (4.11) Так как время чистого запаздывания t и коэффициент усиления K определяются известными приемами по переходной функции, то далее будем рассматривать только нахождение постоянных времени T 1 и T 2. Один из способов определения связан с графическими построениями. Исходная переходная функция нормируется путем деления ординат на величину y(t)=y*(t)/y(Tуст) (4.12) - нормированная функция; - исходная функция; Туст - время, при котором устанавливается постоянное значение . На графике y(t) определяется точка перегиба w, через которую проводится касательная до пересечения с осью абсцисс и горизонтальной прямой y(Tуст)» K (рис. 7). Точка перегиба кривой y(t) представляет собой точку, в которой производная dy(t)/dt имеет максимальное значение. Так как переходные функции реальных объектов часто не имеют явно выраженной точки перегиба, то определение ее координат можно осуществлять следующим образом.
В средней, наиболее быстро изменяющейся части графика y(t) берется несколько ординат y(tg) = yg g = 0, 1, 2,..., q; q обычно не более 6-7; tg - tg-1 = Dt=const и вычисляются первые разности g = 0, 1, 2,..., q-1. Далее находится максимальная величина Dyg и соответствующее ей значение времени tw= tg - 0, 5*Dt, а затем ордината yw. Из графика y(t) непосредственно находятся значения T1, T2 и а. Затем из точки I пересечения касательной А с осью абсцисс восстанавливается перпендикуляр высотой g (4.13) Через точку 3 проводится прямая линия B, паралелльная касательной A, и находится время Tв. Предположив, что T2 < T1, вычисляют их значения из эмпирических соотношений
(4.14) при a < = 0, 05 (4.15) T1= T 0 - Tв при a > 0, 005
|