Энергия деформации при изгибе. Интеграл Мора. Порядок решения задач методом Мора.

Теорема Клайперона.

Работа внешней силы (момента) равна половине произведения конечного значения этой силы (момента) на конечное значение соответствующего перемещения (угла поворота), имеющ. в виду статические силы, т.е. увеличивающийся от 0 до конечного значения, и больше не изменяя свое значение. При действии системы сил работа равна половине суммы произведений: А=1/2å ⁿ_i=1F_i∆ _i, где ∆ _i - перемещение точки под силой F_i, величина которого зависит от всех приложенных к системе сил.

dU=M²(x)dx/(2EI_Z) – элементарная потенциальная энергия деформации балки (точнее элемента dx) работающей в состоянии чистого изгиба.

Чтобы получить энергию деформации всей балки U необходимо проинтегрировать выражение по длине балки.

U=å _i^k₌₁∫ ₀^LiM²(x)dx/2EI_Z – потенциальная энергия деформации балки при чистом изгибе, где Li – длина i-го участка балки, на котором законы М(х), Е, I_Z постоянны (одинаковы); k – количество участков балки.

Интеграл Мора.

Дана линейно деформируемая балка. Требуется определить перемещение т.К. под действием силы F.

Δ _FF – перемещение точки под силой F в направлении силы F (первый индекс) от действия силы F (второй индекс).

Δ _КF– перемещение т.К. (1^ый индекс) от действия силы F (2^ой индекс).

Рассмотрим вспомогательную систему: данную балку освобождаем от внешней нагрузки и в т.К. прикладываем фиктивную силу P.

1) Работа силы Р на перемещении Δ _КР равна потенциальной энергии деформации балки под действием силы P.

А_р=U_p; A_p=½ PΔ _КР; U_p=å _i=1^k∫ _Li(M_p²(x)/2EI_Z)dx.

Слагаемым от Q_y при поперечном изгибе пренебрегаем, т.к. действие Q_y на напряженное состояние незначительно (τ < < σ).

½ PΔ _КР=å _i=1^k∫ _Li(M_p(x)/2EI_Z)dx.

2) К балке, уже деформируемой силой Р, статически прикладываем силу F. Работа силы F на перемещение Δ _FF равна потенциальной энергии деформации балки от силы F.

½ FΔ _FF=å _i^k₌₁∫ _Li(M_F²(x)/2EI_Z)dx.

3) Работа силы Р на перемещение Δ _KF: A_KF = РΔ _KF – нет ½, т.к. сила Р уже имела коночное значение.

4) Суммарная работа внешних сил: А=А_P+А_F+А_KF; U= å _i^k₌₁∫ _Li([M_P(x)+M_F(x)]²/2EI_Z)dx; A=U→ PΔ _KF= å _i^k₌₁∫ _Li((M_P(x)+M_F(x))/EI_Z)dx.

Δ _KF=å _i∫ _Li((M_P(x)/P)M_F(x)dx)/EI_Z.

M_P(x)/P=M₁(x) – закон изменения на i-ом участке изгибающего момента, вызванного действием единичной (безразмерной) силы (момента), приложенной в той точке, перемещение (угол поворота) для которой определяется:

Δ _KF=å _i∫ _Li((M_F(x)M₁(x)dx)/EI_Z) – интеграл Мора.

Δ _KF – обобщенное перемещение точки К от заданной системы сил.

M_F(x) – закон изменения на i^–ом участке изгибающего момента, вызванного действием внешних сил, приложенных к балке.

Если определяется прогиб балки, то в точке К прикладывается единичная сила по направлению искомого перемещения. Если определяется угол поворота, то единичный момент.

Порядок решения задач методом Мора.

1) Для заданной балки на каждом участке записываем законы изменения M_F(x).

2) Освобождаем балку от внешней нагрузки.

3) В т. К по направлению искомого перемещения прикладываем единичную силу (момент) и для каждого участка записываем законы М₁(х).

4) Подставляем M_F(x), M₁(x) в интеграл Мора и вычисляем его. Если полученное Δ _KF имеет знак «–», то действительное перемещение точки имеет направление противоположное единичной силе.