Одномерная случайная величина

С. в. Х (одномерная) - величина, которая может принять различные вероятные значения х на некотором интервале (-¥ £ х £ ¥), т.е. х - возможное значение с.в. Х.

С. в. может быть дискретной и непрерывной. Вероятностные свойства с.в. Х характеризуются интегральной функцией распределения Р(x). Значение функции Р(x) равно вероятности обнаружить с.в. Х< х (или, что то же, на интервале ‑ ¥, х) т.е. Р(x)=Prob(X< x), где х - конкретная детерминированная величина.

Если с.в. Х может принимать лишь дискретные значения х ₁, х ₂,... х _n с вероятностями р ₁, р ₂,... р _n, то функция распределения представляет собой сумму вероятностей тех значений х _k, которые меньше х.

. (12.3)

На рисунке Prob(X£ x ₃ )=Р (х ₃)=0, 5, (т.е. Х = х ₁ или Х=х ₂ или Х=х ₃). Prob (X=x ₄)=0, 6-0, 5=0, 1 (скачок равен вероятности появления значения х ₄).

Функция распределения числа m наступления события в последовательности n независимых испытаний (согласно формуле (11.2)).

Биномиальный закон распределения:

(13.3)

.

Если с.в. Х непрерывна, то функция распределения имеет вид, показанный на рисунке.

Свойства функции распределения:

1) Р(х) - неубывающая функция аргумента х

(т.е. при x₂> x₁ P(x₂)=Prob(X< x₂)> P(x₁)=Prob(X< x₁));

2) При x=-¥ P(x) =0;

3) При x=+¥ P(x)= 1;

4) Prob(x₁< X£ x₂)=P(x₂)-P(x₁) (14.3);

5) Prob(X=x₁)= 0. Вероятность обнаружить число, например 241.000...¥ равно 0. Однако, делая измерения, мы округляем значения, тем самым, увеличивая вероятность их появления. Например, округленное 241.0 содержит значения от 240.9500...¥ до 241.04999... ¥ и вероятность попадания числа в этот интервал не равна 0.

Распределение с.в. Х характеризуется также функцией плотности распределения с.в. Для дискретных значений с.в. функция плотности распределения может задаваться таблично. График функции р(х)=р_i при x=x_i изображен на рис..

Т.к. возможные значения x _i с.в. образуют полную группу несовместных событий (т.е. в каждом из n испытаниях с.в. обязательно примет одно из значений x _i с определенной вероятностью), то , где n - число испытаний.

Для непрерывной с.в. функция плотности распределения имеет вид, показанный на рисунке.

Если функция распределения с.в. Р(х) - непрерывна, то (15.3)

или . По непрерывной кривой плотности распределения, в отличие от дискретной, вероятность обнаружить точное число х ₂ равна нулю. При помощи функции р(х) вероятность обнаружить с.в. Х в бесконечно малом интервале x< X< x+dx равна Pro b(x< X< x+dx)=p(x)dx (площадь прямоугольника, dx ®0). То же в конечном интервале x₁< X< x₂:

(16.3)

(Геометрически это заштрихованная площадь под кривой плотности распределения).

Из (15) следует, что (17.3),

поэтому функцию распределения называют еще интегральной функцией распределения.

Свойства функции плотности распределения:

1) Плотность распределения вероятностей - неотрицательная функция р(х)³ 0.

2) (18.3),

что эквивалентно Р(¥)=1.

3) Размерность р(х) обратная размерности с.в., а Р(х) - безразмерна.

4) Числовые характеристики распределения

Математическое ожидание с.в. Х:

- дискретной

(19.3)

при этом (М(x) - случайна при n¹ ¥).

- непрерывной

(20.3).

Математическое ожидание - достоверная величина, т.к. вероятность того, что при n =¥ испытаниях мы получим среднее арифметическое М(X)= равна 1.

М(с)=с, М(сx) = сМ(x), где с – неслучайное число.

Для независимых с.в. Х ₁ и Х ₂

М(x₁+x₂)=М(x₁)+М(x₂), М(x₁x₂)=М(x₁)М(x₂), М(x²)=[М(x)]²+D(x).

К математическому ожиданию стремится среднее арифметическое наблюдаемых значений с.в. при количестве испытаний n ®¥. Геометрически м.о. – это абсцисса ц. т. площади под кривой плотности распределения. Размерность м.о. совпадает с размерностью с.в.

Дисперсия с.в. Х - м.о. квадрата отклонения с.в. Х от ее м.о. (центра распределения):

D(x)=M[x-M(x)]²=M(x²)-M²(x),

т.к. M[x-M(x)]²=M[x²-2xM(x)+M²(x)]=M(x²)-2M²(x)+M²(x),

M[2xM(x)]=2M²(x) и M[M(x)]=M(x).

Дисперсия дискретной с.в. Х

(21.3)

случайна при n¹ ¥.

Дисперсия непрерывной с.в. Х:

(22.3),

(дисперсия непрерывной с.в. - достоверна).

- математическое ожидание.

Дисперсия характеризует разброс с.в. вокруг ее среднего значения (математического ожидания).

D(c)=0,

D(cx)=c²D(x),

D(c+x)=D(x).

Доказательство.

D(cx)=M[cx-M(cx)]²=M[c²x²-2cxM(cx)+M²(cx)]=

c²M(x²)-M[2c²xM(x)]+M[c²M²(x)]=

c²M(x²)-2c²M²(x)+c²M²(x)=

c²[M(x²)-M²(x)]=c²D(x). D(c+x)=

M[c+x-M(c+x)]²=M[c+x-c-M(x)]²=M[x-M(x)]²=D(x).

Для независимых с.в. Х ₁ и Х ₂ D(x₁±x₂)=D(x₁)+D(x₂).

Геометрически дисперсия – это центральный момент инерции площади под кривой плотности распределения. Размерность дисперсии - квадрат размерности с.в.

Среднеквадратическое отклонение (стандарт): .

Асимметрия непрерывной с.в. Х:

(23.3).

Если с.в. Х распределена симметрично относительно своего м.о., то А(х)= 0.

Коэффициент изменчивости (вариации) с.в. Х - отношение стандарта к м.о.:

(24.3).