ПРИМЕР К ЗадаЧЕ 1.2

Абсолютно жесткий брус опирается на шарнирно неподвижную опору и прикреплен к двум стальным стержням при помощи шарниров.

Требуется:

1. Найти усилия и напряжения в стержнях, выразив их через силу Q.

2. Используя метод расчета по допускаемым напряжениям найти допускаемую нагрузку [ Q ].

3. Найти предельную грузоподъемность системы Q _т и допускаемую нагрузку [ Q ]_т путем расчета по предельному состоянию. Запас прочности к = 1.5.

4. Сравнить величины [ Q ] и [ Q ]_т .

Рис.1

a = 40 см, b = 20 см, с = 30 см А - площадь поперечного сечения стержня ВМ 2 А - площадь поперечного сечения стержня СК А = 10 см2 , s т = 24 кН/см2 [ s ] = 16 кН/см2

РЕШЕНИЕ

1. Определяем необходимые геометрические параметры (длины стержней ВМ и СК, a - угол наклона стержня СК).

l₁=ВМ=40 см

l₂=СК= = = 56.569 см

sin a = DК / СК = 40 / 56.569= 0.707, cos a = СD/CK=0, 707

2. Строим силовую схему (рис. 2). Указываем направление опорных реакций R_D и H_D, внутренних усилий в стержнях N ₁ и N ₂. Неизвестные усилия N ₁ и N ₂ считаем растягивающими.

Рис.2

3. Определяем степень статической неопределимости m = 4 - 3 = 1

Здесь 4 - число неизвестных (R_D, H_D, N ₁, N ₂)

3 - число уравнений статики.

4. Записываем уравнения статики

S x = 0 H_D + N₂ cosa = 0;

S y = 0- N₁ - R_D + N₂ sina + Q= 0;

S M_D = 0 - N₁ 70 + N ₂ 40 sin a - Q 20 = 0.

В данной задаче не требуется отыскивать опорные реакции R_D и H_D, поэтому из трех уравнений статики используем одно:

S M_D= 0 - N₁ 70 + N₂ 40 sin a - Q 20 = 0 (1)

Из одного уравнения (1) невозможно определить два неизвестных усилия N ₁ и N _2.

Задача один раз статически неопределима.

5. Составляем условие совместности деформаций.

Используя предположение о малости деформаций, строим деформированную схему конструкции (рис. 3). Абсолютно жесткий брус BL под действием приложенной нагрузки Q поворачивается на малый угол вокруг опоры (т. D), оставаясь прямолинейным. При этом первый стержень сжимается на величину D l ₁ (т. В переходит в т. В ₁ ), а второй стержень растягивается на величину D l ₂ (т. С переходит в С ₁ ).

Рис. 3

Здесь ВВ ₁ ^ BD, CC ₁ ^ CD, D l ₁ = BB ₁, D l ₂ = CC ₂

Чтобы получить т. С ₂ из т. С ₁ опускаем перпендикуляр на первоначальное направление стержня СК.

Из подобия треугольников D BB ₁ D и D СС ₁ D следует:

или

Здесь CC ₁ = D l ₂ / sin a из D CC ₁ C ₂. Знак минус показывает, что первый стержень укорачивается. Итак получили условие совместности деформаций:

или (2)

6. Используя закон Гука, из уравнений (1) и (2) определяем усилие и напряжения. Согласно закону Гука:

По условию задачи А ₂ = 2 А ₁

Подставляя в (2), получим N ₁= -1, 750 N ₂ (3)

Решаем совместно систему уравнений (1), (3). Получаем:

- (-1.750 N ₂) 70 + N ₂ 40 0.707 - Q 20 =0. Откуда

N₂ = 0, 133 Q (растяжение)

N₁ = - 1, 750 N₂ = - 0.233 Q (сжатие)

Определяем напряжения в стержнях:

где A ₁ = A =10 см² A ₂ = 2 A = 20 см²

7. Определяем допускаемую нагрузку [Q].

Приравнивая максимальное напряжение по модулю | s ₁| допускаемому [ s ], получаем допускаемую нагрузку [ Q ]:

| s ₁ | = 0.0233 [ Q ] = 16 кН/см² Þ [ Q ] = 16 / 0.0233 = 689.655 кН.

8. Вычисляем предельную грузоподъемность Q _Т.

Считаем s ₁ = s _T, s ₂ = s _T. Тогда 240 кН, (сжатие)

кН/см², 480 кН.

Подставляя и в (1), с учетом истинного направления усилия (сжатия), находим предельное значение Q _Т:

Допускаемое значение [ Q ]_т по предельному состоянию

кН

9. Сравнивая величины [ Q ] = 689, 655 кН и [ Q ]_T =1012.48 кН, видим, что расчет по предельному состоянию позволяет расширить диапазон допускаемых нагрузок

.