Главная страница Случайная страница КАТЕГОРИИ: АвтомобилиАстрономияБиологияГеографияДом и садДругие языкиДругоеИнформатикаИсторияКультураЛитератураЛогикаМатематикаМедицинаМеталлургияМеханикаОбразованиеОхрана трудаПедагогикаПолитикаПравоПсихологияРелигияРиторикаСоциологияСпортСтроительствоТехнологияТуризмФизикаФилософияФинансыХимияЧерчениеЭкологияЭкономикаЭлектроника |
Методы Рунге–Кутта.
Точность явных одношаговых методов численного решения систем обыкновенных дифференциальных уравнений вида можно повысить, сохраняя в разложении функции в ряд Тейлора большее число членов. Например, метод второго порядка имеет следующую разностную схему: , или где . Основное неудобство такой формы разностной схемы – необходимость вычисления частных производных , . Эта трудность значительно возрастает при построении методов более высокого порядка точности. В методах Рунге–Кутта функции , где – порядок точности метода, заменяются на некоторые удобно вычисляемые функции таким образом, что , где – константа, не зависящая от . В методе Рунге–Кутта второго порядка функция имеет вид . Разложим функцию в ряд Тейлора в окрестности точки : . Подставим это разложение в выражение для : Сравнивая и , нетрудно видеть, что при эти формы совпадают с точностью до члена . Если положить , то , . В результате метод Рунге–Кутта второго порядка примет вид: , где По аналогии можно построить методы Рунге–Кутта более высоких порядков. Не останавливаясь на выводе, приведем популярный на практике метод Рунге–Кутта четвертого порядка: , где На каждом шаге интегрирования в методе Рунге–Кутта четвертого порядка приходится четырежды вычислять значение функции при разных значениях аргументов. Более того, эти значения функции используются лишь однократно, что отражается на эффективности вычислений. Методы Рунге–Кутта относятся к классу явных условно устойчивых методов. По этой причине они оказываются неприемлемыми для решения жестких систем обыкновенных дифференциальных уравнений.
|