Неопределенный интеграл

В дифференциальном исчислении решается задача: по данной функции найти ее производную. В интегральном исчислении решается обратная задача: дана функция f(x), которая является производной функцией некоторой функции F(x), и по функции f(x) будем искать ее первообразную F(x).

Первообразной функцией для данной функции f(x) называется функция F(x), производная которой равна f(x), или дифференциал которой равен f(x)dx, то есть F'(x)=f(x), или dF(x)=f(x)dx.

Так, например, для функции f(x)=3x² первообразной будет F(x)=x³, так как (x³)'=3x² то есть F'(x)=f(x).

Не всякая функция f(x) имеет первообразную, но если, например, функция f(x) – непрерывна на интервале, то она имеет на нем первообразную. Задача отыскания по данной функции ее первообразной решается неоднозначно. Например, функция F(x)=x³ есть первообразная для f(x)=3x², но функция F₁(x)=x³+5 также будет первообразной для 3x², так как F'₁(x)=(x³+5)'=3x². Вообще любая функция x³+с, где с – произвольная постоянная, имеет производную 3x² и потому будет первообразной для 3x². Выражение: F(x)+c представляет собой общий вид первообразных для f(x).

Совокупность всех первообразных называется неопределенным интегралом функции f(x) и обозначается:

Отыскание неопределенного интеграла называют интегрированием функции f(x). Если функцию f(x) проинтегрировать, а затем продифференцировать, то получим снова функцию f(x). Действительно, так как (F(x)+c)'=f(x), то .

Таким образом, дифференцирование и интегрирование являются взаимно обратными операциями. Перечислим основные свойства неопределенного интеграла.

1. Неопределенный интеграл от алгебраической суммы конечного числа функций равен алгебраической сумме неопределенных интегралов, то есть:

2. Постоянный множитель можно выносить за знак интеграла, то есть:

Чтобы проверить эти свойства, достаточно продифференцировать обе части равенства.