Многоканальные С. п. с селективной модуляцией 45 страница

корень n(х-а₀) / s к-рая включает несмещённую оценку дисперсии
[ris]

и подчинена Стьюдента распределению с п - 1 степенями свободы (подобную задачу см. в ст. Математическая статистика, табл. 1a). Такого рода критерии наз. критериями согласия и используются как для проверки гипотез о параметрах распределения, так и гипотез о самих распределениях (см. Непараметрические методы).

При решении вопроса о принятии или отклонении к.-л. гипотезы H₀с помощью любого критерия, основанного на результатах наблюдения, могут быть допущены ошибки двух типов. Ошибка " первого рода" совершается тогда, когда отвергается верная гипотеза H₀. Ошибка " второго рода" совершается в том случае, когда гипотеза На принимается, а на самом деле верна не она, а к.-л. альтернативная гипотеза H. Естественно требовать, чтобы критерий для проверки данной гипотезы приводил возможно реже к ошибочным решениям. Обычная процедура построения наилучшего критерия для простой гипотезы заключается в выборе среди всех критериев с заданным уровнем значимости [ris] (вероятность ошибки первого рода) такого, к-рый приводил бы к наименьшей вероятности ошибки второго рода (или, что то же самое, к наибольшей вероятности отклонения гипотезы, когда она неверна). Последняя вероятность (дополняющая до единицу вероятность ошибки второго рода) наз. мощностью критерия. В случае, когда альтернативная гипотеза H простая, наилучшим будет критерий, к-рый имеет наибольшую мощность среди всех других критериев с заданным уровнем значимости а (наиболее мощный критерий). Если альтернативная гипотеза H сложная, напр, зависит от параметра, то мощность критерия будет функцией, определённой на классе простых альтернатив, составляющих H, т. е. будет функцией параметра. Критерий, имеющий наибольшую мощность при каждой альтернативной гипотезе из класса H, наз. равномерно наиболее мощным, однако следует отметить, что такой критерий существует лишь в немногих спец. ситуациях. В задаче проверки гипотезы о среднем значении нормальной совокупности а = а_о против альтернативной гипотезы а > а₀ равномерно наиболее мощный критерий существует, тогда как при проверке той же гипотезы против альтернативы a < > а_о его нет. Поэтому часто ограничиваются поиском равномерно наиболее мощных критериев в тех или иных спец. классах (инвариантных, несмещённых критериев и т. п.).

Теория С. п. г. позволяет с единой точки зрения трактовать выдвигаемые практикой различные задачи математич. статистики (оценка различия между средними значениями, проверка гипотезы постоянства дисперсии, проверка гипотезы независимости, проверка гипотез о распределениях и т. п.). Идеи последовательного анализа, применённые к С. п. г., указывают на возможность связать решение о принятии или отклонении гипотезы с результатами последовательно проводимых наблюдений (в этом случае число наблюдений, на основе к-рых по определённому правилу принимается решение, не фиксируется заранее, а определяется в ходе эксперимента) (см. также Статистические решения).

Лит.: Крамер Г., Математические методы статистики, пер. с англ., 2 изд., M., 1975; Л е м а и Э., Проверка статистических гипотез, пер. с англ., M., 1964.

А. В. Прохоров.

СТАТИСТИЧЕСКАЯ РАДИОФИЗИКА, раздел радиофизики, посвящённый изучению флуктуационных явлений при генерации, излучении, распространении и приёме радиоволн. В более широком смысле С. р. охватывает исследования стати стич. закономерностей в колебательных и волновых процессах (когерентность, проблемы взаимодействия сигналов и шумов в нелинейных системах и т. п.). Практич. значение С. р. связано с тем, что в системах радиолокации, радионавигации, радиосвязи и др. флуктуации играют важную и во многих случаях определяющую роль на осн. этапах передачи информации.

Электрич. флуктуации, обусловленные фундаментальными физич. процессами в веществе, являются причиной возникновения флуктуационных напряжений и токов в радиоприёмных устройствах (см. Флуктуации электрические). Флуктуацпонные токи и напряжения, неизбежные в реальных генераторах колебаний, определяют предельно достижимые монохроматичность и стабильность частоты генератора радиопередающих устройств. Флуктуационные явления при распространении радиоволн в атмосфере связаны с тем, что показатель преломления тропосферы и 'ионосферы испытывает нерегулярные изменения, носящие флуктуационный характер. Идеи и методы С. р. проникают в оптику.

Лит.: P ы т о в С. M., Введение в статистическую радиофизику, M-, 1966; В а ндер-Зил А., Флуктуации в радиотехнике и физике, пер. с англ., M., 1958; Малахов A. H., Флуктуации в автоколебательных системах, M., 1968; Татарс к и и В. И., Распространение волн в турбулентной атмосфере, M., 1967.

С. А. Ахманов.

СТАТИСТИЧЕСКАЯ CУMMA, величина, обратная нормирующему множителю канонического Гиббса распределения в квантовой статистической физике. В классич. статистич. физике такая величина наз. статистическим интегралом. С. с. (статистич. интеграл) позволяет вычислить все потенциалы термодинамические.

СТАТИСТИЧЕСКАЯ ТЕРМОДИНАИKA равновесная, раздел статистической физики, дающий статистическое обоснование законов термодинамики на основе статистич. механики Дж. У. Гиббса и посвящённый вычислениям термодинамич. характеристик системы (потенциалы термодинамические, уравнение состояния) на основе законов взаимодействия составляющих систему частиц. Неравновесная С. т. даёт статистич. обоснование термодинамики неравновесных процессов (уравнений переноса энергии, импульса, массы) и позволяет получить выражения для входящих в уравнения коэффициентов (кинетич. коэфф., или коэфф. переноса) на основе законов взаимодействия и движения частиц системы.

СТАТИСТИЧЕСКАЯ ФИЗИКА, раздел физики, задача к-рого-выразить свойства макроскопич. тел, т. е. систем, состоящих из очень большого числа одинаковых частиц (молекул, атомов, электронов и т. д.), через свойства этих частиц и взаимодействие между ними.

Изучением макроскопич. тел занимаются и др. разделы физики - термодинамика, механика сплошных сред, электродинамика сплошных сред. Однако при решении конкретных задач методами этих дисциплин в соответствующие уравнения всегда входят неизвестные параметры или функции, характеризующие данное тело. Так, для решения задач гидродинамики необходимо знать уравнение состояния жидкости или газа, т. е. зависимость плотности от темп-ры и давления, теплоёмкость жидкости, её коэфф. вязкости и т. п. Все эти зависимости и параметры можно, разумеется, определять экспериментально, поэтому методы, о к-рых идёт речь, наз. феноменологическими. Статистическая же физика позволяет, по крайней мере в принципе, а во многих случаях и фактически, вычислить все эти величины, если известны силы взаимодействия между молекулами. T. о., С. ф. использует сведения о " микроскопическом" строении тел - о том, из каких частиц они состоят, как эти частицы взаимодействуют, поэтому её называют микроскопической теорией.

Если в какой-то момент времени заданы координаты и скорости всех частиц тела и известен закон их взаимодействия, то, решая уравнения механики, можно было бы найти эти координаты и скорости в любой последующий момент времени и тем самым полностью определить состояние исследуемого тела. (Для простоты изложение ведётся на языке классич. механики. Но и в квантовой механике ситуация та же: зная начальную волновую функцию системы и закон взаимодействия частиц, можно, решая Шрёдингера уравнение, найти волновую функцию, определяющую состояние системы во все будущие моменты времени.) Фактически, однако, такой путь построения микроскопич. теории невозможен, т. к. число частиц в макроскопич. телах очень велико. Напр., в 1 см³ газа при темп-ре О ⁰C и давлении в 1 атм содержится примерно 2, 7 ·10¹⁹ молекул. Невозможно решить такое число уравнений, а начальные координаты и скорости всех молекул всё равно неизвестны.

Однако именно большое число частиц в макроскопич. телах приводит к появлению новых - статистических -закономерностей в поведении таких тел. Это поведение в широких пределах не зависит от конкретных начальных условий - от точных значений начальных координат и скоростей частиц. Важнейшее проявление этой независимости - известный из опыта факт, что система, предоставленная самой себе, т. е. изолированная от внеш. воздействий, с течением времени приходит в нек-рое равновесное состояние (термодинамическое, или статистическое, равновесие), свойства к-рого определяются только такими общими характеристиками начального состояния, как число частиц, их суммарная энергия и т. п. (см. Равновесие термодинамическое). В дальнейшем речь будет идти главным образом о С. ф. равновесных состояний.

Прежде чем сформулировать теорию, описывающую статистич. закономерности, следует разумно ограничить сами требования к теории. Именно, задачей теории должно являться вычисление не точных значений различных физ. величин для макроскопич. тел, а ср. значений этих величин по времени. Рассмотрим, напр., молекулы, находящиеся в нек-ром выделенном в газе достаточно большом - макроскопическом - объёме. Число таких молекул с течением времени будет меняться из-за их движения, и его можно было бы найти точно, если были бы известны все координаты молекул во все моменты времени. В этом, однако, нет необходимости. Изменение числа молекул в объёме будет носить характер беспорядочных колебаний - флуктуации - относительно нек-рого ср. значения. При большом числе частиц в объёме эти колебания будут малы по сравнению со ср. числом частиц, так что для характеристики макроскопич. состояния достаточно знать именно это ср. значение.

Для уяснения характера статистич. закономерностей рассмотрим ещё один простой пример. Пусть в нек-рый сосуд помещено большое число зёрен двух сортов, каждого сорта поровну, и содержимое сосуда тщательно перемешано. Тогда на основании повседневного опыта можно быть уверенным, что во взятой из сосуда пробе, содержащей всё ещё большое число зёрен, будет обнаружено примерно равное число зёрен каждого сорта независимо от того, в каком порядке засыпались зёрна в сосуд. На этом примере хорошо видны два важных обстоятельства, обеспечивающих применимость статистич. теории. Во первых, необходимость большого числа зёрен как во всей " системе" - сосуде с зерном, так и в выбранной для опыта " подсистеме" - пробе. (Если Проба состоит всего из двух зёрен, то нередко оба будут одного сорта.) Во-вторых, ясно, что существ, роль играет сложность движения зёрен при перемешивании, обеспечивающая их равномерное распределение в объёме сосуда.
Функция распределения. Рассмотрим систему, состоящую из N частиц, для простоты считая, что частицы не имеют внутр. степеней свободы. Такая система описывается заданием 6N переменных - 3N координат q₁ и 3 N импульсов PI частиц [совокупность этих переменных сокращённо будет обозначаться (p, q)]· Вычислим ср. значение по интервалу времени t нек-рой величины F (р, q), являющейся функцией этих координат и импульсов. Для этого разобьём интервал (О, [ris]) на s равных малых отрезков [ris] t₀ (а = 1, 2,....... s). Тогда по определению
[ris][ris]

где q^a и р^a - значения координат и импульсов в моменты времени t_a. B пределе s-> бесконеч. сумма переходит в интеграл:
[ris]

Понятие функции распределения ес-теств. образом возникает, если рассмотреть пространство 6N измерений, на осях к-рого отложены значения координат и импульсов частиц системы; оно наз. фазовым пространством. Каждому значению времени? соответствуют определённые значения всех q к р, т. е. нек-рая точка в фазовом пространстве, изображающая состояние системы в данный момент времени t. Разобьём всё фазовое пространство на элементы, размер к-рых мал по сравнению с характерными для данного состояния системы значениями q и р, но ещё настолько велик, что в каждом из них находится много точек, изображающих состояние системы в различные моменты времени t. Тогда число таких точек в элементе объёма будет примерно пропорционально величине этого объёма dpdq. Если обозначить коэффициент пропорциональности через sw(p, q), то это число для элемента с центром в нек-рой точке (р, q) запишется в виде:
[ris]

где dpdq = dp₁dq₁dp₂dq₂...dp_3Ndq_3N - объём выбранного элемента фазового пространства. Cp. значение (1) с учётом малости этих элементов объёма можно

переписать как F= (1/ s) интеграл Fda, т.е.
[ris]

(интегрирование по координатам производится по всему объёму системы, по импульсам - от -беск. до +беск.). функция w(p, q, t) носит название функции распределения по координатам и импульсам частиц. Поскольку полное число выбранных точек равно s, функция w удовлетворяет условию нормировки:
[ris]

Из (3) и (4) видно, что wdpdq можно рассматривать как вероятность системе находиться в элементе dpdq фазового пространства.

Введённой таким образом функции распределения можно дать и др. истолкование. Для этого будем рассматривать одновременно большое число одинаковых систем и примем, что каждая точка в фазовом пространстве изображает состояние одной такой системы. Тогда усреднение по времени в (1) - (1a) можно понимать как усреднение по совокупности этих систем, или, как говорят, по статистическому ансамблю.

Проведённые до сих пор рассуждения носили чисто формальный характер, т. к. нахождение функции распределения, согласно (2), требует знания всех р и q во все моменты времени, т. е. решения уравнений движения с соответствующими начальными условиями. Осн. положением С. ф. является, однако, утверждение о возможности определить эту функцию из общих соображений для системы, находящейся в состоянии термодинамич. равновесия. Прежде всего можно показать, исходя из сохранения числа систем при движении, что функция распределения является интегралом движения системы, т. е. остаётся постоянной, если р и q меняются в соответствии с уравнениями движения (см. Лиувилля теорема).

При движении замкнутой системы не меняется её энергия, поэтому все точки в фазовом пространстве, изображающие состояние системы в разные моменты времени, должны лежать на нек-рой " гиперповерхности", соответствующей начальному значению энергии E. Уравнение этой поверхности имеет вид: Н(р, q) = Е, где H (р, q) - энергия системы, выраженная через координаты и импульсы, т. е. её функция Гамильтона. Далее, движение системы из многих частиц носит крайне запутанный характер. Поэтому с течением времени точки, описывающие состояние, распределятся по поверхности постоянной энергии равномерно, подобно тому как равномерно распределяются зёрна при перемешивании в сосуде в упомянутом выше примере (см. также Эргодическая гипотеза). Такое равномерное распределение по изоэнергетич. поверхности описывается функцией распределения вида:

w(p, q) = A[ris][H(p, q)-E], (5) где [ris][Н (р, q) - E] - дельта-функция, отличная от нуля только при H=E, т. е. на этой поверхности, А - постоянная, определяемая из условия нормировки (4). Функция распределения (5), наз. микроканонической, позволяет вычислять ср. значения всех физ. величин по формуле (3), не решая уравнений движения.

При выводе выражения (5) предполагалось, что единственная сохраняющаяся при движении системы величина, от к-рой зависит w, - это энергия системы. Разумеется, сохраняются также импульс и момент импульса, но эти величины можно исключить, предположив, что рассматриваемое тело заключено в неподвижный ящик, к-рому частицы могут отдавать импульс и момент.

Фактически обычно рассматриваются не замкнутые системы, а макроскопич. тела, являющиеся макроскопически малыми частями, или подсистемами, к.-л. замкнутой системы. Функция распределения для подсистемы будет отлична от (5), но не будет зависеть от конкретного характера остальной части системы - т. н. термостата. Поэтому функцию распределения подсистемы можно определить, считая, напр., что термостат состоит просто из N частиц идеального газа, координаты и импульсы к-рых будем обозначать через Q и P, в отличие от обозначений q и р для подсистемы, тогда микроканонич. распределение:
[ris]

Здесь H (р, q) - функция Гамильтона подсистемы, M - масса частицы газа, а суммирование производится по всем составляющим импульсов всех частиц термостата. Чтобы найти функцию распределения для подсистемы, нужно проинтегрировать это выражение по координатам и импульсам частиц термостата. Если затем учесть, что число частиц в термостате много больше, чем в подсистеме, и устремить N -> беск., считая, что отношение E/N постоянно и равно ³/2 kГ, то для функции распределения подсистемы получится выражение:

w(p, q) = е^{[F-H(p, q)]/kT.} (6)

Величина T в этой формуле имеет смысл темп-ры, k = 1, 38 ·10~¹⁶ эрг/град - постоянная Больцмана. [Условие E/F -> ³/2 kT для газа в термостате соответствует, как и должно быть, формуле (13) для идеального газа; см. ниже.] Нормировочный коэффициент e^F/KT определяется из условия нормировки (4):
[ris]

Распределение (6) наз. каноническим распределением Гиббса, или просто каноническим распределением (см Гиббса распределение), а величина Z - статистич. интегралом. В отличие от микроканонич. распределения, энергия системы в распределении Гиббса не задана. Состояния системы сосредоточены в тонком, но конечной толщины слое вокруг энергетич. поверхности, соответствующей ср. значению энергии, что означает возможность обмена энергией с термостатом. В остальном в применении к определённому макроскопич. телу оба распределения приводят по существу к одним и тем же результатам. Разница лишь в том, что при использовании микроканонич. распределения все ср. значения оказываются выраженными через энергию тела, а при использовании канонич. распределения - через темп-ру.

Если тело состоит из двух невзаимодействующих частей 1 н 2 с функциями Гамильтона H₁ н H₂, то для всего тела H = H₁ + Н₂ и, согласно (6), функция распределения тела разбивается на произведение функций распределения для каждой из частей, так что эти части оказываются статистически независимыми. Это требование вместе с теоремой Лиувилля можно положить в основу вывода распределения Гиббса, не обращаясь к микроканонич. распределению.

Формула (6) справедлива для систем, к-рые описываются классич. механикой.

В квантовой механике энергетич. спектр системы конечного объёма дискретен. Вероятность подсистеме находиться в состоянии с энергией E_n даётся формулой, аналогичной (6):
[ris]

причём условие нормировки [ris]_nw_n = 1 можно переписать в виде:
[ris]

Величина Z наз. статистической суммой системы; сумма в выражении (8) берётся по всем состояниям системы. Для системы, с достаточной точностью описывающейся классич. механикой, в формуле (8) можно перейти от суммирования по состояниям к интегрированию по координатам и импульсам системы. При этом на каждое квантовое состояние приходится в фазовом пространстве " клетка" (или " ячейка") объемом (2 [ris] h)^3N, где h - Планка постоянная. Иными словами, суммирование по [ris] сводится к интегрированию по dpdq/(2[ris]h)^3N. Следует также учесть, что ввиду тождественности частиц в квантовой механике при их перестановке состояние системы не меняется. Поэтому, если интегрировать по всем [ris] и q, необходимо поделить интеграл на число перестановок из N частиц, т. е. на N Окончательно классич. предел для статистич. суммы имеет вид:
[ris]

Он отличается множителем от чисто классич. условия нормировки (6а), что приводит к дополнит, слагаемому в F.

Приведённые формулы относятся к случаю, когда число частиц в подсистеме задано. Если выбрать в качестве подсистемы определённый элемент объёма всей системы, через поверхность к-рого частицы могут покидать подсистему и возвращаться в неё, то вероятность нахождения подсистемы в состоянии с энергией E_n и числом частиц N_n даётся формулой большого канонического распределения Г и б бса:

W_n=е^{([ris]-En-[ris]Nn)/kT}, (9)

в к-рой дополнит, параметр [ris] - химический потенциал, определяющий ср. число частиц в подсистеме, а величина [ris] определяется из условия нормировки [см. формулу (11)].

Статистическое истолкование термодинамики. Важнейший результат С. ф.- установление статистич. смысла термодинамич. величин. Это даёт возможность вывести законы термодинамики из осн. представлений С. ф. и вычислять термодинамич. величины для конкретных систем. Прежде всего термодинамич. внутренняя энергия отождествляется со ср. энергией системы. Первое начало термодинамики получает тогда очевидное истолкование как выражение закона сохранения энергии при движении составляющих тело частиц.

Далее, пусть функция Гамильтона системы зависит от нек-рого параметра [ris] (координаты стенки сосуда, в к-рый заключена система, внешнего поля и т. п.). Тогда производная дН/[ris][ris] будет обобщённой силой, соответствующей этому параметру, а величина (dH/d[ris])d[ris] после усреднения даёт механич. работу, совершаемую над системой при изменении этого параметра. Если продифференцировать

выражение E = интеграл Hwdpdq для ср. энергии E системы с учётом формулы (6) и условия нормировки, считая переменными [ris] и Г и учитывая, что величина F тоже является функцией от этих переменных, то получится тождество:
[ris]

Согласно сказанному выше, член, содержащий d[ris], равен ср. работе dA, совершаемой над телом. Тогда последний член есть получаемое телом тепло. Сравнивая это выражение с соотношением представляющим собой объединённую запись первого и второго начал термодинамики (см. Второе начало термодинамики) для обратимых процессов, находим, что T в (6) действительно равна абс. темп-ре тела, а пролзводная dF/дТ - взятой с обратным знаком энтропии S. Это означает, что F есть свободная энергия тела, откуда выясняется её статистич. смысл.

Особое значение имеет статистич. истолкование энтропии, к-рое следует из формулы (8). Формально суммирование в этой формуле производится по всем состояниям с энергией E_n, но фактически ввиду малости флуктуации энергии в распределении Гиббса существенно лишь относительно небольшое их число с энергией вблизи ср. энергии. Число этих существенных состояний [ris]n естественно определить поэтому, ограничив суммирование в (8) интервалом [ris]n, заменив E_n на ср. энергию E и вынося экспоненту из-под знака суммы. Тогда сумма даст [ris]n и (8) примет вид:

е^{-(F-E)/kT = [ris]n}

С др._стороны, согласно термодинамике, F=E - TS, что даёт связь энтропии с числом микроскопич. состояний [ris] n в данном макроскопич. состоянии, иначе говоря, - со статистическим весом макроскопич. состояния, т. е. с его вероятностью:

S = k 1n [ris]n. (10) При темп-ре абс. нуля любая система находится в определённому с н о в н о м состоянии, так что [ris] n = 1, S=O. Это утверждение выражает собой третье начало термодинамики. Здесь существенно, что для однозначного определения энтропии нужно пользоваться именно квантовой формулой (8); в чисто классич. статистике энтропия определена только с точностью до произвольного слагаемого. Смысл энтропии как меры вероятности состояния сохраняется и по отношению к произвольным - не обязательно равновесным - состояниям. В состоянии равновесия энтропия имеет максимальное возможное в данных внешних условиях значение. Это означает, что равновесное состояние является состоянием с максимальным статистич. весом, наиболее вероятным состоянием. Процесс перехода системы из неравновесного состояния в равновесное есть процесс перехода из менее вероятных состояний в более вероятные; это выясняет статистич. смысл закона возрастания энтропии, согласно к-рому энтропия замкнутой системы может только увеличиваться.

Формула (8), связывающая свободную энергию F со статистич. суммой, является основой для вычисления термодинамич. величин методами С. ф. Она используется, в частности, для построения статистич. теории электрич. и магнитных свойств вещества. Напр., для вычисления магнитного момента тела в магнитном поле следует вычислить статистич. сумму и свободную энергию. Магнитный момент т тела даётся тогда формулой:
[ris]

где H - напряжённость внеш. магнитного поля.

Аналогично (8) условие нормировки в большом канонич. распределении (9) определяет термодинамический потенциал [ris], согласно формуле:
[ris]

Этот потенциал связан со свободной энергией соотношением: [ris] = F-[ris]N

Приложения С. ф. к изучению тех или иных свойств конкретных систем сводятся по существу к приближённому вычислению статистич. суммы с учётом специфич. свойств системы.

Во многих случаях эта задача упрощается применением закона равнораспределения по степеням свободы, утверждающего, что теплоёмкость C₀ (при постоянном объёме [ris]) с истемы взаимодействующих материальных точек - частиц, совершающих гармоннч. колебания, равна c_v = k(l/2 + n)

где l - общее число постулат, и вращат. степеней свободы, n - число колебат. степеней свободы. Доказательство закона основано на том, что функция Гамильтона H такой системы имеет вид: H = = K(p_i)+ U(q_m), где кинетич. энергия К - однородная квадратичная функция от l + n импульсов p_i, a потенц. энергия U - квадратичная функция от [ris] колебат. координат q_m. B статистич. интеграле Z (8а) интегрирование по колебат. координатам ввиду быстрой сходимости интеграла можно распространить от -бескон. до бескон.. Сделав после этого

замену переменных p_i = корень Tp_i', q_m =

= корень Tq_т', находим, что Z зависит от темп-ры как Т ^l/2+n, так что свободная энергия F= - kT (1/2 + п) (InT+ const). Отсюда следует приведённое выше выражение для теплоёмкости, поскольку Cv = - Td²F/dT². Отклонения от закона равнораспределения в реальных системах связаны прежде всего с квантовыми поправками, т. к. в квантовой С. ф. этот закон несправедлив. Существуют также поправки, связанные с негармоничностью колебаний.

Идеальный газ. Простейшим объектом исследования С. ф. является идеальный газ, т. е. газ настолько разреженный, что можно пренебречь взаимодействием между его молекулами. Термодинамич. функции такого газа можно вычислить до конца. Энергия газа равна просто сумме энергий отдельных молекул. Этого, однако, ещё недостаточно, чтобы считать молекулы полностью независимыми. Деиствительно, в квантовой механике, даже если силы взаимодействия между частицами отсутствуют, существует определённое влияние одинаковых (тождественных) частиц друг на друга, если он:; находятся в близких квантовомеханич. состояниях. Это т. н. обменное взаимодействие. Им можно пренебречь, если на одно состояние приходится в среднем много меньше одной частицы, что во всяком случае имеет место при достаточно высокой темп-ре газа; такой газ наз. невырожденным. Фактически обычные газы, состоящие из атомов и молекул, невырождены при всех темп-pax (при к-рых они ещё газообразны). Для невырожденного идеального газа функция распределения распадается на произведение функций распределения для отдельных молекул. Энергия молекулы одноатомного газа во внешнем поле с потенциальной энергией U(r) равна р²/2М + + U(r). Интегрируя (6) по координатам r (х, у, г) и импульсам P(рх, рy, pz) всех молекул, кроме одной, можно найти число молекул dN, импульсы к-рых лежат в интервалах dp_x, dp_y, dр_z, а координаты - в интервалах dx, dy, dz:
[ris]

где d³p = dp_xdp_ydp_z, d³x = dxdydz. Эта формула наз. распределением Максвелла - Больцмана (см. Болъцмана статистика). Если проинтегрировать (12) по импульсам, то получится формула для распределения частиц по координатам во внешнем поле, в частности в поле тяготения - барометрическая формула. Распределение же по скоростям в каждой точке пространства совпадает с Максвелла распределением.

Статистич. сумма идеального газа также распадается на произведение одинаковых членов, соответствующих отдельным молекулам. Для одноатомного газа суммирование в (8) сводится к интегрированию по координатам и импульсам, т. е. сумма заменяется на интеграл по d³pd³x/(2[ris]h)³ в соответствии с числом ячеек [с объёмом (2 [ris] h)³] в фазовом пространстве одной частицы. Свободная энергия N атомов газа равна:
[ris]