Студопедия

Главная страница Случайная страница

КАТЕГОРИИ:

АвтомобилиАстрономияБиологияГеографияДом и садДругие языкиДругоеИнформатикаИсторияКультураЛитератураЛогикаМатематикаМедицинаМеталлургияМеханикаОбразованиеОхрана трудаПедагогикаПолитикаПравоПсихологияРелигияРиторикаСоциологияСпортСтроительствоТехнологияТуризмФизикаФилософияФинансыХимияЧерчениеЭкологияЭкономикаЭлектроника






Метод половинного деления (бисекции)






Пусть функция y=f(x) удовлетворяет условиям теоремы 2.1 на отрезке [ a, b ], т.е. уравнение (2.1) имеет единственный корень на этом отрезке.

Метод половинного деления (бисекции) это один из простейших методов решения нелинейных уравнений. Приводим алгоритм и геометрическую интерпретацию (рис.2.5) этого метода.

Алгоритм метода бисекции.

1. Делим отрезок [ a, b ] пополам.

2. Если , то является корнем уравнения (2.1).

3. Если , то из двух отрезков выбираем тот, на концах которого функция f(x) имеет разные знаки.

Рис. 2.5. Схема метода бисекции

4. Новый «суженный» отрезок [ a1, b1 ] снова делим пополам и проводим тот же анализ и т.д.

5. В результате получаем на каком-то этапе или точный корень уравнения (2.1), или же бесконечную последовательность вложенных друг в друга отрезков,

[ a1, b1 ], [ a2, b2 ], …………………[ an, bn ]

таких, что f(ai,) f(bi)< 0, (i =1, 2, …..) (2.8)

и (2.9)

Левые концы a1, a2,..., an, … и правые концы b1, b2,..., bn, … этих отрезков образуют монотонные последовательности, соответственно неубывающую и невозрастающую.

Доказывается утверждение, что существует общий пре-дел x *, который является корнем уравнения (2.1).

 

(2.10)

Метод половинного деления легко реализуется на ЭВМ по следующей схеме.

Для нахождения приближенного значения корня уравнения (2.1) с заданной точностью e необходимо циклически повторить следующую последовательность действий:

1. отрезок [ a, b ] делим пополам ,

2. если │ f(x)│ > ε, переходим на пункт 3, иначе – на пункт 5,

3. если f(x)*f(b) ≤ 0, то принимаем a = x, иначе b = х. Т.е. из двух отрезков выбираем тот, на концах которого функция имеет разные знаки, и новый «суженный» отрезок вновь называем отрезком [ a, b ],

4. если │ a-b │ > ε, то выполняется пункт 1, иначе – пункт 5.

5. в качестве приближенного решения уравнения (2.1) с заданной точностью ε принимается .

G Замечание. Метод половинного деления практически удобно применять для грубого нахождения корня заданного уравнения, поскольку при увеличении точности объем вычислительной работы значительно возрастает.

 

 


Поделиться с друзьями:

mylektsii.su - Мои Лекции - 2015-2024 год. (0.006 сек.)Все материалы представленные на сайте исключительно с целью ознакомления читателями и не преследуют коммерческих целей или нарушение авторских прав Пожаловаться на материал