Прореживание и интерполяция дискретизированного сигнала.

Иногда возникает задача изменения частоты дискретизации сигнала, представленного в дискретном времени. Процесс понижения и повышения частоты дискретизации называется прореживанием и интерполяцией соответственно. В обоих случаях предполагается, что имеется последовательность отсчетов x(n) = x_a(nT), где аналоговая функция x_a(t) имеет ограниченное по частоте преобразования Фурье, такое, что X_a(i Ω ) = 0, |Ω |/ 2π > F _N.

Прореживание. Пусть требуется понизить частоту дискретизации в М раз, т. е. необходимо построить новую последовательность, соответствующую отсчетам x_a(t), взятым с периодом T′ = MT, т.е.:

y(n) = x_a(n T′) = x_a(n T× M) (2.7)

Заметим, что:

y(n) = x(Mn), +∞ < n < ∞ (2.8)

Таким образом, y(n) получается путем сохранения только одного из M отсчетов. Из теоремы дискретизации следует, что если 1 / T′ > 2F_N, то y(n) также единственным образом описывает исходный аналоговый сигнал. Преобразования Фурье x(n) и y(n) связаны соотношением: (2.9)

Из (2.9) видно, что для устранения наложения между спектрами необходимо, чтобы . Если это условие выполняется, то получаем

, (2.10)

где .

Структурная схема обобщенной системы прореживания изображена на рис. 2.5. Фильтр низких частот необходим для того, чтобы не происходило наложение частот.

Рис.2.5. Структурная схема прореживания

Интерполяция. Пусть имеется последовательность отсчетов аналогового сигнала x(n) = x_a(nT). Если необходимо повысить частоту дискретизации в L раз, то следует вычислить новую последовательность, соответствующую отсчетам x_a(t), взятым с периодом T'=T/L, т.е.:

y(n) = x_a(n T') = x_a(nT/L) (2.11)

Очевидно, y(n) = x(n/L) для n =0, ±L, ±2L, но для других значений недостающие отсчеты необходимо получить с использованием методов интерполяции.

Общая структурная схема процесса интерполяции представлена на рис. 2.6.