Расчет размерных цепей вероятностным методом

5.1. Основные расчетные зависимости

При расчете размерных цепей методом полной взаимозаменяемости (максимума-минимума)предполагается, что в процессе обработки или сборке возможно одновременное сочетание наибольших увеличивающих и наименьших уменьшающих размеров или обратное их сочетание. Оба случая дают меньшую точность замыкающего звена, но они маловероятны, так как отклонения размеров в основном группируются около середины поля допуска и сочетания деталей с такими отклонениями происходят наиболее часто. Если допустить ничтожно малую вероятность (например, 0, 27%) несоблюдения предельных значений замыкающего размера, то можно значительно расширить допуски составляющих размеров и тем самым снизить себестоимость изготовления деталей. На этих положениях и основан теоретико-вероятностный метод расчета размерных цепей.

В теории размерных цепей наиболее часто применяются следующие законы рассеяния размеров деталей: нормальный (закон Гаусса), закон равной вероятности, закон треугольника и закон Максвелла.

Для получения основных расчетных зависимостей вероятностного метода используют теоремы о математических ожиданиях и дисперсиях.

Полагая, что погрешности составляющих и замыкающего размеров подчиняются закону нормального распределения, а границы их вероятного рассеяния (6 ) совпадают с границами полей допусков, можно принять , . При этом у 0, 27% деталей размеры замыкающих звеньев могут выходить за пределы поля допуска.

Уравнение для определения допуска замыкающего размера имеет вид:

(16)

Формула (16) выведена из предположения, что распределение действительных размеров подчиняется закону Гаусса, центр группирования совпадает с серединой поля допуска (), а поле рассеяния – с величиной допуска.

При несимметричных законах распределения центр группирования не совпадает с серединой поля допуска (рис. 5). Координата центра группирования () для несимметричного закона распределения определяется по выражению:

(17)

где - коэффициент относительной асимметрии несимметричной кривой распределения отклонений -го размера.

Рис. 5 – Схема определения центра группирования для несимметричной

кривой распределения

Значение координаты середины поля допуска замыкающего звена при асимметричных кривых распределения составляющих размеров определяется по выражению:

, (18)

где и - коэффициенты относительной асимметрии для замыкающего и составляющих звеньев.

Для нормального закона распределения =0.

Для определения допуска замыкающего звена по любому закону распределения погрешностей в формулу (16) вводят коэффициент относительного рассеяния ()

, (19)

где и - коэффициенты относительного рассеяния замыкающего и составляющих звеньев.

Коэффициент относительного рассеяния , являющийся относительным средним квадратичным отклонением, равен

(20)

Для закона нормального распределения при

;

Когда имеет место закон равной вероятности . При законе распределения, близком к закону Симпсона (закону треугольника), .

Рассеяние размеров замыкающего звена часто можно считать подчиняющимся нормальному закону, для которого .

Тогда выражение (19) примет вид

. (21)

При нормальном законе рассеяния размеров замыкающего звена 99, 73% размеров этого звена заключены в пределах поля допуска, т.е. процент риска Р составляет 0, 27. Если для каких-либо конкретных условий производства допустим иной выход размера замыкающего звена за пределы его допуска, то последний подсчитывается по формуле:

, (22)

где - коэффициент, зависящий от процента риска Р и принимаемый по табл. 3.

Таблица 3

Значение коэффициента для различных процентов риска Р

Р, %	0, 01	0, 05	0, 1	0, 27	0, 5
	3, 89	3, 48	3, 29		2, 81	2, 57	2, 32	2, 17	1, 96	1, 65

5.2. Прямая задача

При решении этой задачи допуск замыкающего звена распределяют между составляющими звеньями цепи различными способами, добиваясь выполнения неравенства:

. (23)

При способе равных допусков средний допуск составляющих звеньев вычисляют по формуле:

. (24)

При способе одной степени точности (квалитета) средний коэффициент точности получают из формулы (22) при условии

, (25)

где - единица допуска размера, принимаемая по табл. 1.

Найденное значение сопоставляют с числом единиц по квалитетам (табл. 2) и определяют квалитет для составляющих звеньев.

По определенному таким образом квалитету и номинальным размерам звеньев назначают допуски на эти звенья и корректируют их, чтобы выполнялось выражение (23).

Предельные отклонения ( и ) назначают по правилу, изложенному в пункте 4.2.2. Координаты середин полей допусков замыкающего () и составляющих () звеньев определяют по формуле (5) и проверяют выполнение равенства (18).

Допускается одно звено принимать за увязочное и для него из равенства (18) определять координату середины поля допуска, а затем по формулам (8) и (9) – предельные отклонения.

5.3. Обратная задача

Последовательность решения обратной задачи вероятностным методом аналогична изложенной в пункте 4.3 для метода полной взаимозаменяемости.

После определения номинального размера замыкающего звена () по уравнению (1), определяют величину допуска по выражениям (19) или (22).

Координату середины поля допуска определяют по формуле (18) и далее вычисляют предельные отклонения ( и ) по выражениям (6) и (7), предварительно подсчитав координаты середин полей допусков всех составляющих звеньев цепи по формуле (5).